乘法表技巧：如何永久记住乘法表

为什么乘法表仍然重要

能够熟练进行乘法的成年人，大多记住的是答案而不是计算过程。1996 年，LeFevre 及其同事进行的一项研究显示，大学生在大约 80% 的一位数乘法题中可以直接回忆答案。每一个更大的计算都建立在这些小事实之上：37 × 8 等于 30 × 8 加上 7 × 8。如果 7 × 8 需要你五秒钟，那么每一个包含它的更大问题也会变慢。

你需要记住的事实比你想象的少

一个 10 × 10 的乘法表有 100 个格子，但顺序不重要：3 × 8 与 8 × 3 是同一个事实。每个只算一次的话，就剩下 55 个不同的事实，而 12 × 12 的乘法表是 78 个而不是 144 个。更好的是，一旦你掌握了 1、2、5 和 10 的乘法表，在 3、4、6、7、8 和 9 中只剩下 21 个事实。那是一个短名单，也是值得你练习的名单。

从简单的乘法表开始

四个乘法表几乎是免费的。乘以 1 不改变数字，任何数乘以 0 都是 0。乘以 10 只是加一个零。乘以 2 是加倍。乘以 5 是乘以 10 的一半：例如 7 × 5，先算 70，再除以 2 得到 35。这同样适用于奇数：9 × 5 是 90 的一半，所以是 45。先掌握这四个，因为困难乘法表的技巧建立在它们的基础上。

4 和 8 的加倍法

乘以4是翻倍两次，乘以8是翻倍三次。对于7 × 4，先将7翻倍得到14，然后再翻倍得到28。对于7 × 8，再多翻一步：14、28、56。翻倍是最简单的运算，所以连续翻倍通常比去寻找你记得不太清楚的乘法事实更快。在心里默数翻倍步数，“一、二、三”，这样就不会丢失轨迹。

9的乘法：先乘以十，再减去一次

一个数乘以9就是先乘以10再减去这个数：9 × 7 就是 70 − 7，所以是63。两种方法可以检查错误。从9 × 1到9 × 10，答案的各位数之和总是9（6 + 3 = 9），并且十位数比你乘的数字小1。手指方法也可行：举起十个手指，折下第七个；左边还剩六根手指，右边三根手指，所以是63。

6和3的乘法

一个数的六倍是它的五倍再加一个：6 × 7 是 35 + 7，所以是 42。对于偶数有一种规律：6 × 2 = 12，6 × 4 = 24，6 × 6 = 36 和 6 × 8 = 48，结果的个位都是你乘的那个数，而十位数字是它的一半。一个数的三倍是它的两倍再加一个：3 × 8 是 16 + 8，所以是 24。每一个技巧都把你不确定的事实变成你已经知道的事实。

向邻居借

LeFevre 和同事发现，成年人不仅仅是回忆答案。他们还会使用规则、重复加法、逐步计数（例如把 3 × 5 当作 5、10、15 来算）以及派生事实，比如 6 × 7 可以算作 6 × 6 + 6。你可以有意识地这样做。平方数是很好的支点：如果你知道 7 × 7 = 49，那么 7 × 8 就是 49 + 7 = 56。几个稳固的支点可以让你在几秒钟内重新推算出忘记的答案。

列出你难记的乘法

对于大多数人来说，麻烦集中在 6、7 和 8 的少数几个乘法上：6 × 7、6 × 8、7 × 7、7 × 8 和 8 × 8 是常见问题。与其背整个乘法表，不如写下你犹豫的几个乘法，并给予额外关注。对最难记的乘法，可以编一个小押韵：比如“5, 6, 7, 8”，即 56 = 7 × 8。你自己的列表会不同，所以从自己的错误中建立。

技巧是桥梁，而不是目标。

技巧可以让你得到正确答案，但它们会耗费时间。LeFevre及其同事发现，人们在采用其他方法最常解决的问题上，检索速度较慢。在一项对比加拿大和中国学生的研究中，Campbell和Xue将较弱的简单算术能力归因于回忆效率较低以及更多使用计算程序。先用技巧找到答案，然后不断练习，直到答案自然而然出现。

与其重新阅读，不如测试自己

看冰箱上的乘法表感觉很有成效，但大多只是重复阅读。在2006年的一项研究中，Roediger和Karpicke发现，那些对文本进行回忆测试的学生，在两天和一周后记忆效果比只重复学习的学生好得多，即使在五分钟后重复阅读会带来更好的回忆效果和更高的信心。对于乘法表，可以遮住答案，说出来，然后再检查。

将练习分散到几天进行

Cepeda及其同事在2006年的一项综述中汇总了317个实验的839次评估，研究了口头材料学习的间隔方式，发现你希望记住的时间越长，每次学习之间最佳的间隔就越长。Dunlosky及其同事在2013年的学习技术综述中，将练习测试和间隔练习评为最有用的学习方法。每天几分钟胜过每周一次长时间学习。

将乘法表混合练习

按顺序背诵7的乘法表，让每个答案依靠前一个：7, 14, 21, 28。在实际使用中，乘法事实是一次一个、且顺序不固定的。Rohrer和Taylor发现，那些练习混合不同类型题目的学生，在一周后的测试中，表现远好于按类型分块练习的学生。一旦你掌握了顺序表，就将它的各个事实与其他表混合起来练习。

先准确，再速度

从每一个答案都正确开始，即使慢，也要记下你错过的事实。第二天重新测试这些内容，一旦你毫不犹豫地回答正确，就从你的列表中移除该事实。只有在那之后才增加计时器。短时间的限时练习是有用的，因为犹豫会显现出来：仍然需要技巧的事实会显现在停顿中。保持练习时间短，以免疲劳把练习变成猜测。

Numvolt 的位置

乘法是Numvolt的15个主题之一。它的前几个关卡涵盖了12 × 12以内的乘法表，难度会随着你的游戏表现而调整：答对题目时难度会上升，你回答越快上升越快，连续出错时难度会下降。每道错题都会在复习环节中再次出现，直到你答对为止。你可以在选择的主题上进行15秒、30秒或60秒的冲刺练习，并阅读针对4、5、8、9和11的乘法技巧，每个技巧都配有两个示例题和需避免的陷阱。对战模式可以让两个人在同一部手机上进行比拼。

延伸阅读

• LeFevre, Bisanz, Daley, Buffone, Greenham & Sadesky (1996), Multiple routes to solution of single-digit multiplication problems, Journal of Experimental Psychology: General
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Roediger & Karpicke (2006), Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention, Psychological Science
• Cepeda, Pashler, Vul, Wixted & Rohrer (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin
• Dunlosky, Rawson, Marsh, Nathan & Willingham (2013), Improving students’ learning with effective learning techniques, Psychological Science in the Public Interest
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science