ضرب کی جدول کے طریقے: ضرب کی جدول کو مستقل طور پر کیسے سیکھیں

کیوں ضرب کی جدول ابھی بھی اہم ہے

وہ بالغ جو ضرب میں ماہر ہیں زیادہ تر جوابات یاد رکھتے ہیں بجائے اس کے کہ وہ ان کا حل نکالیں۔ 1996 کی ایک تحقیق میں لیفویل اور ان کے ساتھیوں نے پایا کہ یونیورسٹی کے طلبہ نے تقریباً 80% ایک ہندسہ ضرب کے مسائل میں جواب براہِ راست یاد کرنے کی رپورٹ دی۔ ہر بڑا حساب انہی چھوٹے حقائق پر مبنی ہوتا ہے: 37 × 8 برابر ہے 30 × 8 جمع 7 × 8 کے۔ اگر 7 × 8 میں آپ کو پانچ سیکنڈ لگتے ہیں، تو ہر بڑا مسئلہ جس میں یہ شامل ہے بھی سست ہو جائے گا۔

کم حقائق جتنے آپ سوچتے ہیں

ایک 10 × 10 جدول میں 100 خانے ہیں، لیکن ترتیب کا کوئی فرق نہیں پڑتا: 3 × 8 وہی حقیقت ہے جو 8 × 3 ہے۔ ہر ایک کو ایک بار گننے سے، 55 مختلف حقائق باقی رہ جاتے ہیں، اور ایک 12 × 12 جدول میں 144 کی بجائے 78 ہوتے ہیں۔ اس سے بھی بہتر، جب آپ 1، 2، 5 اور 10 کے جدول جان لیتے ہیں، تو صرف 21 حقائق 3، 4، 6، 7، 8 اور 9 میں باقی رہ جاتے ہیں۔ یہ ایک مختصر فہرست ہے، اور یہ وہ فہرست ہے جس پر آپ کو اپنا وقت مشق کے لیے صرف کرنا چاہیے۔

آسان جدولوں سے شروع کریں

چار جدولیں تقریباً مفت ہیں۔ 1 سے ضرب دینے پر نمبر تبدیل نہیں ہوتا، اور 0 سے ضرب دینے پر نتیجہ 0 ہوتا ہے۔ 10 سے ضرب دینے پر صفر شامل ہو جاتا ہے۔ 2 سے ضرب دینے پر دگنا کر دیا جاتا ہے۔ 5 سے ضرب دینے پر 10 سے ضرب کا نصف ہوتا ہے: 7 × 5 کے لیے 70 لیں اور نصف کر کے 35 حاصل کریں۔ یہ طریقه جفت اعداد کے ساتھ بھی کام کرتا ہے: 9 × 5 کا نصف 90 ہے، تو نتیجہ 45 ہوگا۔ پہلے ان چاروں کو مضبوط کر لیں، کیونکہ مشکل جدولوں کے لئے تراکیب انہی پر مبنی ہیں۔

4s اور 8s کے لئے دگنا کرنا

4 کے لیے دوگنا کرنا دو بار ہے، اور 8 کے لیے دوگنا کرنا تین بار ہے۔ 7 × 4 کے لیے، 7 کو دوگنا کریں تاکہ 14 حاصل ہو، پھر دوبارہ دوگنا کریں تاکہ 28 حاصل ہو۔ 7 × 8 کے لیے، ایک قدم مزید آگے بڑھائیں: 14، 28، 56۔ دوگنا کرنا سب سے آسان عمل ہے، اس لیے اسے سلسلہ وار کرنا اکثر نصف یاد کی ہوئی معلومات کی تلاش سے تیز ہوتا ہے۔ دل میں دوگنا کرنے کی گنتی کریں، 'ایک، دو، تین'، تاکہ آپ راستہ نہ بھولیں۔

9s: دس گنا، ایک بار کم

کسی عدد کو نو سے ضرب دینا اس عدد کو دس سے ضرب دینے کے بعد اس عدد کو منفی کرنے کے برابر ہے: 9 × 7 = 70 − 7، یعنی 63۔ دو طریقے غلطیوں کو پکڑ سکتے ہیں۔ 9 × 1 سے 9 × 10 تک، جواب کے اعداد کا مجموعہ ہمیشہ 9 ہوتا ہے (6 + 3 = 9)، اور دس کا عدد اس عدد سے ایک کم ہوتا ہے جس سے آپ ضرب دے رہے ہیں۔ انگلیوں کا طریقہ بھی کام آتا ہے: دس انگلیاں اٹھائیں اور ساتویں کو موڑیں؛ بائیں جانب چھ انگلیاں اور دائیں جانب تین انگلیاں رہتی ہیں، یعنی 63۔

6s اور 3s

کسی عدد کا چھ گناہ اس کا پانچ گناہ اور ایک مزید کے برابر ہوتا ہے: 6 × 7 ہے 35 + 7، یعنی 42۔ ایک جفت عدد کے ساتھ ایک پیٹرن ہوتا ہے: 6 × 2 = 12، 6 × 4 = 24، 6 × 6 = 36 اور 6 × 8 = 48، سب وہی عدد ختم ہوتا ہے جس سے آپ نے ضرب دی ہے، اور ان کے دس کے ہندسے اس کا آدھا ہیں۔ کسی عدد کا تین گناہ اس کا دو گناہ اور ایک مزید کے برابر ہوتا ہے: 3 × 8 ہے 16 + 8، یعنی 24۔ ہر حربہ ایک حقیقت کو جس کے بارے میں آپ غیر یقینی ہیں، ایک ایسی حقیقت میں بدل دیتا ہے جسے آپ پہلے سے جانتے ہیں۔

پڑوسی سے ادھار لیں

لیفور اور ان کے ساتھیوں نے معلوم کیا کہ بالغ صرف جوابات یاد نہیں رکھتے۔ وہ قواعد، دہرائی جانے والی جمع، قدم بہ قدم گنتی (3 × 5 کو 5، 10، 15 کے طور پر) اور مشتق حقائق استعمال کرتے ہیں، جیسے 6 × 7 کو 6 × 6 + 6 کے طور پر حل کرنا۔ آپ یہ جان بوجھ کر بھی کر سکتے ہیں۔ مربع اچھے اشارے بناتے ہیں: اگر آپ جانتے ہیں کہ 7 × 7 = 49، تو پھر 7 × 8 = 49 + 7 = 56 ہوگا۔ کچھ مضبوط اشارے آپ کو سیکنڈوں میں بھولا ہوا حقیقت دوبارہ یاد کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔

اپنے مشکل حقائق کے نام رکھیں

زیادہ تر لوگوں کے لئے، مسئلہ 6، 7 اور 8 کے چند حقائق میں ہوتا ہے: 6 × 7، 6 × 8، 7 × 7، 7 × 8 اور 8 × 8 عام مسائل ہیں۔ پوری جدول دہرانے کے بجائے، وہ چند حقائق لکھیں جن پر آپ ہچکچاتے ہیں اور انہیں اضافی توجہ دیں۔ سب سے مشکل کے لئے ایک چھوٹا سا شاعرہ مددگار ہو سکتا ہے: “5، 6، 7، 8”، جیسے 56 = 7 × 8۔ آپ کی اپنی فہرست مختلف ہوگی، اس لئے اسے اپنی غلطیوں سے بنائیں۔

چال ایک پل ہے، مقصد نہیں۔

چالیں آپ کو صحیح جواب تک پہنچاتی ہیں، لیکن ان میں وقت لگتا ہے۔ لیفیور اور ان کے ساتھیوں نے پایا کہ لوگ ان مسائل کو حل کرنے میں سست تھے جو وہ عموماً دیگر طریقوں سے حل کرتے تھے۔ ایک مطالعے میں جس میں کینیڈا اور چین کے طلباء کا موازنہ کیا گیا، کیمبل اور ژو نے کمزور سادہ حساب کو کم مؤثر یادداشت اور زیادہ طریقے استعمال کرنے کے ساتھ جوڑا۔ جواب معلوم کرنے کے لیے چال استعمال کریں، پھر اس وقت تک مشق کرتے رہیں جب تک جواب خود بخود نہ آجائے۔

بار بار پڑھنے کے بجائے خود کو امتحان میں ڈالیں۔

فرج پر ٹائمز ٹیبل دیکھنا پیداواری محسوس ہوتا ہے لیکن زیادہ تر یہ دوبارہ پڑھنا ہی ہے۔ ایک 2006 کے مطالعے میں، روئیڈیگر اور کارپیکے نے پایا کہ جو طلباء کسی متن پر ری کال ٹیسٹ لیتے تھے وہ اسے دوبارہ پڑھنے والے طلباء کے مقابلے میں دو دن اور ایک ہفتے بعد کہیں زیادہ بہتر یاد رکھتے تھے، حالانکہ پانچ منٹ کے بعد دوبارہ پڑھنے سے بہتر یادداشت اور زیادہ اعتماد ملتا تھا۔ ٹیبلز کے لیے، جواب کو ڈھانپ دیں، اسے کہیں، پھر چیک کریں۔

پریکٹس کو دنوں میں تقسیم کریں

2006 کے ایک جائزے میں، سیپیڈا اور ان کے ساتھیوں نے لفظی مواد کے سیکھنے کو فاصلے پر کرنے کے 317 تجربات کے 839 جائزے اکٹھے کیے، اور پایا کہ جتنا آپ کچھ یاد رکھنا چاہتے ہیں، سیشنز کے درمیان بہترین وقفہ اتنا ہی طویل ہونا چاہئے۔ 2013 میں لرننگ ٹیکنیکس پر ڈنلسکی اور ان کے ساتھیوں کے جائزے نے پریکٹس ٹیسٹنگ اور اسپیسڈ پریکٹس کو سب سے زیادہ مفید قرار دیا۔ روزانہ چند منٹ ہفتے کے ایک طویل سیشن سے بہتر ہیں۔

ٹیبلز کو ملا دیں

سات کا جدول ترتیب سے دہرانا ہر جواب کو پچھلے جواب پر انحصار کرنے دیتا ہے: 7، 14، 21، 28۔ حقیقی استعمال میں، حقائق ایک وقت میں ایک آتے ہیں اور ترتیب سے نہیں۔ روہرر اور ٹیلر نے پایا کہ وہ طلباء جو مختلف قسم کے مسائل کو مل کر پریکٹس کرتے تھے، ہفتے بعد ایک ٹیسٹ میں ان طلباء کے مقابلے میں بہت بہتر کارکردگی دکھاتے تھے جو انھیں بلاکوں میں پریکٹس کرتے تھے۔ ایک بار جب آپ جدول کو ترتیب سے جان لیں، اس کے حقائق کو دوسرے جدولوں کے ساتھ ملا دیں۔

پہلے درستگی، پھر رفتار

شروع کریں ہر جواب صحیح دینے سے، چاہے آہستہ ہی کیوں نہ ہو، اور ان حقائق کو نوٹ کریں جو آپ نے مس کر دیے۔ اگلے دن دوبارہ ان کا ٹیسٹ لیں، اور کسی بھی حقیقت کو اپنی فہرست سے ہٹا دیں جب آپ اسے بلا جھجک صحیح جواب دے دیں۔ تبھی ٹائمر شامل کریں۔ مختصر ٹائم شدہ راؤنڈز مفید ہوتے ہیں کیونکہ جھجک نظر آنے لگتی ہے: وہ حقیقت جو ابھی بھی کسی چال کی ضرورت رکھتی ہے، وقفہ کے طور پر ظاہر ہوتی ہے۔ راؤنڈز کو مختصر رکھیں تاکہ تھکن کی وجہ سے مشق حدس لگانے میں نہ بدل جائے۔

جہاں Numvolt فٹ بیٹھتا ہے

ضرب، Numvolt کے 15 موضوعات میں سے ایک ہے۔ اس کے ابتدائی درجات 12 × 12 تک کی جدولوں کے ذریعے کام کرتے ہیں، اور مشکل کی سطح کھیل کے دوران ایڈجسٹ ہوتی ہے: صحیح جوابات کے ساتھ یہ بڑھتی ہے، جب آپ تیز ہوتے ہیں تو زیادہ تیزی سے بڑھتی ہے، اور بار بار غلطیوں کے بعد گر جاتی ہے۔ ہر چھوٹا ہوا سوال جائزہ سیشن میں دوبارہ آتا ہے جب تک کہ آپ اسے صحیح نہ کر لیں۔ آپ منتخب کردہ موضوعات پر 15، 30 یا 60 سیکنڈ کے اسپریٹس چلا سکتے ہیں، اور 4، 5، 8، 9 اور 11 کے اوقات کے لیے تراکیب پڑھ سکتے ہیں، ہر ایک کے دو حل شدہ مثالیں اور بچنے والے خطرات کے ساتھ۔ ایک ڈوئل موڈ میں دو افراد ایک ہی فون پر ایک دوسرے کے خلاف مقابلہ کرتے ہیں۔

مزید پڑھنا

• LeFevre, Bisanz, Daley, Buffone, Greenham & Sadesky (1996), Multiple routes to solution of single-digit multiplication problems, Journal of Experimental Psychology: General
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Roediger & Karpicke (2006), Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention, Psychological Science
• Cepeda, Pashler, Vul, Wixted & Rohrer (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin
• Dunlosky, Rawson, Marsh, Nathan & Willingham (2013), Improving students’ learning with effective learning techniques, Psychological Science in the Public Interest
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science