Κόλπα για τους πίνακες πολλαπλασιασμού: πώς να μάθετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού οριστικά

Γιατί οι πίνακες πολλαπλασιασμού εξακολουθούν να έχουν σημασία

Οι ενήλικες που είναι άνετοι με τον πολλαπλασιασμό κυρίως θυμούνται τις απαντήσεις παρά τις υπολογίζουν. Σε μια μελέτη του 1996 από τους LeFevre και συνεργάτες, φοιτητές πανεπιστημίου ανέφεραν ότι ανακτούσαν την απάντηση απευθείας σε περίπου 80% των προβλημάτων πολλαπλασιασμού μονοψήφιων αριθμών. Κάθε μεγαλύτερος υπολογισμός βασίζεται σε αυτά τα μικρά γεγονότα: 37 × 8 είναι 30 × 8 συν 7 × 8. Αν το 7 × 8 σας παίρνει πέντε δευτερόλεπτα, κάθε μεγαλύτερο πρόβλημα που το περιέχει επιβραδύνεται επίσης.

Λιγότερα γεγονότα από όσα νομίζετε

Ένας πίνακας 10 × 10 έχει 100 κελιά, αλλά η σειρά δεν έχει σημασία: 3 × 8 είναι το ίδιο με 8 × 3. Μετρώντας κάθε έναν μία φορά, απομένουν 55 διαφορετικά αποτελέσματα, και ένας πίνακας 12 × 12 έχει 78 αντί για 144. Καλύτερα ακόμα, μόλις γνωρίζετε τους πίνακες επί 1, 2, 5 και 10, απομένουν μόνο 21 αποτελέσματα ανάμεσα σε 3, 4, 6, 7, 8 και 9. Αυτή είναι μια σύντομη λίστα, και είναι η λίστα που αξίζει τον χρόνο εξάσκησής σας.

Ξεκινήστε με τους εύκολους πίνακες

Τέσσερις πίνακες είναι σχεδόν δωρεάν. Ο πίνακας επί 1 αφήνει έναν αριθμό αμετάβλητο, και οτιδήποτε επί 0 είναι 0. Ο πίνακας επί 10 προσθέτει ένα μηδέν. Ο πίνακας επί 2 είναι διπλασιασμός. Ο πίνακας επί 5 είναι το μισό του πίνακα επί 10: για 7 × 5, πάρτε 70 και μοιράστε το στη μέση για να πάρετε 35. Αυτό λειτουργεί επίσης για μονά ακέραια: 9 × 5 είναι το μισό του 90, άρα 45. Στερεώστε πρώτα αυτούς τους τέσσερις, γιατί τα κόλπα για τους δυσκολότερους πίνακες βασίζονται σε αυτούς.

Διπλασιασμός για τους 4 και τους 8

Το 4 σημαίνει διπλασιασμό δύο φορές, και το 8 σημαίνει διπλασιασμό τρεις φορές. Για το 7 × 4, διπλασιάζουμε το 7 για να πάρουμε 14, και μετά ξαναδιπλασιάζουμε για να πάρουμε 28. Για το 7 × 8, συνεχίζουμε ένα ακόμα βήμα: 14, 28, 56. Ο διπλασιασμός είναι η πιο εύκολη πράξη που υπάρχει, οπότε η συνέχεια του είναι συνήθως ταχύτερη από το να ψάχνουμε για ένα γεγονός που θυμόμαστε μισό. Μέτρα τους διπλασιασμούς σιγανά, «ένα, δύο, τρία», ώστε να μην χάνεις το μέτρημα.

Τα 9s: δέκα φορές, μείον μία φορά

Εννιά φορές ένας αριθμός είναι δέκα φορές αυτός ο αριθμός μείον τον αριθμό: 9 × 7 είναι 70 − 7, οπότε 63. Δύο μέθοδοι ελέγχου πιάνουν λάθη. Από 9 × 1 έως 9 × 10, τα ψηφία του αποτελέσματος πάντα προστίθενται για να δώσουν 9 (6 + 3 = 9), και το ψηφίο των δεκάδων είναι ένα λιγότερο από τον αριθμό που πολλαπλασιάζετε. Η μέθοδος με τα δάχτυλα λειτουργεί επίσης: κρατάτε δέκα δάχτυλα και λυγίζετε το έβδομο· έξι δάχτυλα μένουν αριστερά και τρία δεξιά, οπότε 63.

Τα 6s και τα 3s

Έξι φορές ένας αριθμός είναι πέντε φορές αυτόν συν ένα ακόμα: 6 × 7 είναι 35 + 7, δηλαδή 42. Με έναν ζυγό αριθμό υπάρχει ένα μοτίβο: 6 × 2 = 12, 6 × 4 = 24, 6 × 6 = 36 και 6 × 8 = 48 τελειώνουν όλα στον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάσατε, και το ψηφίο των δεκάδων τους είναι η μισή του. Τρεις φορές ένας αριθμός είναι το διπλάσιο του συν ένα ακόμα: 3 × 8 είναι 16 + 8, δηλαδή 24. Κάθε κόλπο μετατρέπει ένα γεγονός για το οποίο δεν είστε σίγουροι σε ένα που ήδη γνωρίζετε.

Δανειστείτε από τον γείτονα

Ο LeFevre και οι συνεργάτες του διαπίστωσαν ότι οι ενήλικες δεν ανακαλούν μόνο απαντήσεις. Χρησιμοποιούν επίσης κανόνες, επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, μέτρηση σε βήματα (3 × 5 ως 5, 10, 15) και παράγωγα γεγονότα, όπως 6 × 7 υπολογισμένο ως 6 × 6 + 6. Μπορείτε να το κάνετε αυτό σκόπιμα. Τα τετράγωνα αποτελούν καλά σημεία αναφοράς: αν γνωρίζετε ότι 7 × 7 = 49, τότε 7 × 8 είναι 49 + 7 = 56. Μερικά σταθερά σημεία αναφοράς σας επιτρέπουν να ανακατασκευάσετε ένα ξεχασμένο γεγονός σε δευτερόλεπτα.

Ονομάστε τα δύσκολα γεγονότα σας

Για τους περισσότερους ανθρώπους, η δυσκολία εντοπίζεται σε μερικά γεγονότα μεταξύ των 6, 7 και 8: 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 και 8 × 8 είναι κοινές δυσκολίες. Αντί να απαγγέλλετε ολόκληρο τον πίνακα, γράψτε τα λίγα γεγονότα στα οποία διστάζετε και δώστε τους επιπλέον προσοχή. Ένα μικρό ποιηματάκι μπορεί να βοηθήσει για το χειρότερο από όλα: «5, 6, 7, 8», όπως στο 56 = 7 × 8. Η δική σας λίστα θα διαφέρει, οπότε φτιάξτε την από τα λάθη σας.

Ένα κόλπο είναι μια γέφυρα, όχι ο στόχος

Τα κόλπα σε οδηγούν στη σωστή απάντηση, αλλά κοστίζουν χρόνο. Οι LeFevre και οι συνεργάτες τους διαπίστωσαν ότι οι άνθρωποι ήταν πιο αργοί στην ανάκτηση των προβλημάτων που συνήθως έλυναν με άλλες μεθόδους. Σε μια μελέτη που συνέκρινε μαθητές στον Καναδά και την Κίνα, οι Campbell και Xue απέδωσαν την ασθενέστερη απλή αριθμητική τόσο σε λιγότερο αποτελεσματική ανάκληση όσο και σε μεγαλύτερη χρήση διαδικασιών. Χρησιμοποίησε το κόλπο για να βρεις την απάντηση και μετά συνέχισε να εξασκείσαι μέχρι η απάντηση να έρχεται μόνη της.

Δοκίμασε τον εαυτό σου αντί να ξαναδιαβάζεις

Το να κοιτάζει κανείς έναν πίνακα πολλαπλασιασμού στο ψυγείο φαίνεται παραγωγικό αλλά είναι κυρίως επανάληψη. Σε μια μελέτη του 2006, οι Roediger και Karpicke διαπίστωσαν ότι οι μαθητές που έκαναν τεστ ανάκλησης σε ένα κείμενο το θυμόντουσαν πολύ καλύτερα δύο μέρες και μια εβδομάδα αργότερα σε σχέση με τους μαθητές που το μελετούσαν ξανά, παρόλο που η επανάληψη έδινε καλύτερη ανάκληση στα πέντε λεπτά και περισσότερη εμπιστοσύνη. Για τους πίνακες, καλύψτε την απάντηση, πείτε την και μετά ελέγξτε.

Κατανείμετε την πρακτική σε μέρες

Μια ανασκόπηση του 2006 από τους Cepeda και συνεργάτες συνένωσε 839 αξιολογήσεις από 317 πειράματα σχετικά με την κατανομή της μάθησης του λεκτικού υλικού και διαπίστωσε ότι όσο περισσότερο θέλετε να θυμάστε κάτι, τόσο μεγαλύτερο πρέπει να είναι το διάστημα μεταξύ των συνεδριών. Μια ανασκόπηση του 2013 των τεχνικών μάθησης από τους Dunlosky και συνεργάτες έδωσε στις δοκιμές πρακτικής και στην κατανεμημένη πρακτική την υψηλότερη βαθμολογία για χρησιμότητα. Λίγα λεπτά την ημέρα ξεπερνούν μία μεγάλη συνεδρία την εβδομάδα.

Ανακατέψτε τους πίνακες

Απαγγέλλοντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού του 7 με τη σειρά, κάθε απάντηση στηρίζεται στην προηγούμενη: 7, 14, 21, 28. Στην πραγματική χρήση, τα δεδομένα έρχονται ένα-ένα και εκτός σειράς. Οι Rohrer και Taylor διαπίστωσαν ότι οι μαθητές που εξασκούνταν σε διαφορετικούς τύπους ασκήσεων αναμεμιγμένες μεταξύ τους απέδιδαν πολύ καλύτερα σε ένα τεστ μια εβδομάδα αργότερα από τους μαθητές που εξασκούνταν σε μπλοκ. Μόλις μάθετε έναν πίνακα με τη σειρά, ανακατέψτε τα δεδομένα του με αυτά των άλλων.

Ακρίβεια πρώτα, μετά ταχύτητα

Ξεκίνα αποκτώντας κάθε απάντηση σωστά, ακόμα και αργά, και σημείωνε τα γεγονότα που χάνεις. Δοκίμασε ξανά αυτά την επόμενη μέρα και αφαίρεσε ένα γεγονός από τη λίστα σου μόλις το απαντήσεις σωστά χωρίς δισταγμό. Μόνο τότε πρόσθεσε χρονοδιακόπτη. Οι σύντομοι γύροι με χρονικό περιορισμό είναι χρήσιμοι επειδή η διστακτικότητα γίνεται εμφανής: ένα γεγονός που χρειάζεται ακόμα ένα κόλπο εμφανίζεται ως παύση. Κράτα τους γύρους σύντομους ώστε η κόπωση να μην μετατρέπει την εξάσκηση σε εικασία.

Πού εφαρμόζεται το Numvolt

Ο πολλαπλασιασμός είναι ένα από τα 15 θέματα του Numvolt. Τα πρώτα επίπεδα δουλεύουν μέσα από τους πίνακες μέχρι το 12 × 12, και η δυσκολία προσαρμόζεται καθώς παίζετε: αυξάνεται με σωστές απαντήσεις, πιο γρήγορα όταν είστε γρήγοροι, και μειώνεται μετά από επαναλαμβανόμενα λάθη. Κάθε ερώτηση που χάνεται επιστρέφει σε μια συνεδρία ανασκόπησης μέχρι να την απαντήσετε σωστά. Μπορείτε να κάνετε σπριντ 15, 30 ή 60 δευτερολέπτων στα θέματα που επιλέγετε, και να διαβάσετε τεχνικές για τους χρόνους 4, 5, 8, 9 και 11, η κάθε μία με δύο παραδείγματα και την παγίδα που πρέπει να αποφύγετε. Η λειτουργία ντουέτου αντιμετωπίζει δύο άτομα μεταξύ τους σε ένα τηλέφωνο.

Περαιτέρω ανάγνωση

• LeFevre, Bisanz, Daley, Buffone, Greenham & Sadesky (1996), Multiple routes to solution of single-digit multiplication problems, Journal of Experimental Psychology: General
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Roediger & Karpicke (2006), Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention, Psychological Science
• Cepeda, Pashler, Vul, Wixted & Rohrer (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin
• Dunlosky, Rawson, Marsh, Nathan & Willingham (2013), Improving students’ learning with effective learning techniques, Psychological Science in the Public Interest
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science