Πώς λειτουργεί η νοητική αριθμητική στο μυαλό σας και γιατί ορισμένες μέθοδοι είναι ευκολότερες

Δύο διαφορετικοί τρόποι για να λάβετε μια απάντηση

Όταν απαντάς σε μια αριθμητική ερώτηση, συμβαίνει ένα από τα δύο πράγματα. Είτε ανακτάτε την απάντηση, τον τρόπο που ανακτάτε ένα οικείο όνομα είτε την υπολογίζετε μέσω μιας σειράς βημάτων. Συνήθως ανακτάται επτά φορές οκτώ. Συνήθως υπολογίζεται το είκοσι τρεις επί επτά. Αυτά αισθάνονται παρόμοια από μέσα και δεν είναι καθόλου η ίδια διαδικασία, και σχεδόν ό,τι κάνει τη νοητική αριθμητική εύκολη ή δύσκολη ακολουθεί από ποια κάνετε.

Γιατί η ανάκτηση είναι άμεση

Ένα ανακτηθέν γεγονός δεν κοστίζει σχεδόν τίποτα επειδή η δουλειά έγινε πριν από χρόνια. Δεν υπολογίζεις, αναγνωρίζεις. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ένας πίνακας χρόνων που μαθαίνετε σωστά παραμένει διαθέσιμος υπό πίεση, ενώ μια μέθοδος που μισή θυμάστε καταρρέει τη στιγμή που αποσπάτε την προσοχή σας. Το πρακτικό συμπέρασμα δεν είναι της μόδας αλλά αληθινό: τα απομνημονευμένα γεγονότα δεν είναι το αντίθετο της κατανόησης, είναι αυτά που ελευθερώνουν χώρο για αυτήν.

Τι συμβαίνει όταν αντ' αυτού υπολογίζετε

Υπολογισμός σημαίνει να διατηρείτε ένα μερικό αποτέλεσμα ενώ παράγετε το επόμενο και στη συνέχεια να το συνδυάσετε. Κάθε βήμα είναι εύκολο από μόνο του. Αυτό που κάνει το όλο θέμα δύσκολο είναι ότι τίποτα δεν είναι γραμμένο, επομένως κάθε ενδιάμεσος αριθμός πρέπει να διατηρείται ζωντανός ενώ εργάζεστε σε κάτι άλλο. Αυτό είναι ένα πρόβλημα μνήμης όταν φοράς μια αριθμητική στολή.

Όπου εξαντλείται η λειτουργική μνήμη

Οι DeStefano και LeFevre επανεξέτασαν τον ρόλο της εργαζόμενης μνήμης στη νοητική αριθμητική το 2004 και η εικόνα που προκύπτει είναι ότι το φορτίο είναι πραγματικό και συγκεκριμένο: διατήρηση ενδιάμεσων αποτελεσμάτων, παρακολούθηση της θέσης σε μια διαδικασία και αντίσταση στις παρεμβολές από τους αριθμούς που έχετε ήδη χρησιμοποιήσει. Όταν ένας υπολογισμός καταρρέει, συνήθως καταρρέει σε ένα από αυτά τα τρία σημεία και όχι στον ίδιο τον αριθμητικό.

Γιατί η μεταφορά είναι το ακριβό κομμάτι

Η μεταφορά είναι το βήμα που σας αναγκάζει να κρατάτε κάτι ενώ κάνετε κάτι άλλο, που είναι ακριβώς το φορτίο που περιγράφεται παραπάνω. Γι' αυτό το 48 συν 37 είναι πιο δύσκολο από το 40 συν 30 συν 8 συν 7, παρόλο που είναι το ίδιο άθροισμα. Οι μέθοδοι που αποφεύγουν τη μεταφορά δεν είναι κόλπα, είναι τρόποι αναδιάρθρωσης ενός προβλήματος έτσι ώστε να απαιτεί λιγότερα από το μέρος σας που είναι πιο πιθανό να αποτύχει.

Γιατί το από αριστερά προς τα δεξιά ταιριάζει στο κεφάλι

Στα χαρτιά δουλεύεις από τα δεξιά γιατί το κουβαλάς το απαιτεί. Στο μυαλό σου αυτή η σειρά είναι προς τα πίσω, γιατί σε αναγκάζει να κρατάς μια αυξανόμενη ουρά ψηφίων πριν κάποιο από αυτά σημαίνει οτιδήποτε. Η εργασία από αριστερά προς τα δεξιά σας δίνει μια αξιοποιήσιμη προσέγγιση από το πρώτο βήμα και διατηρεί μικρό τον αριθμό των πραγμάτων που κρατάτε. Η μέθοδος δεν είναι πιο γρήγορη θεωρητικά, είναι φθηνότερη στη μνήμη εργασίας.

Γιατί η στρογγυλοποίηση και μετά η διόρθωση είναι φθηνή

Η μετατροπή 8 φορές 49 σε 8 φορές 50 μείον 8 αντικαθιστά ένα δύσκολο βήμα με δύο εύκολα. Μοιάζει με περισσότερη δουλειά και είναι λιγότερο, επειδή οι ενδιάμεσες τιμές είναι στρογγυλοί αριθμοί που είναι εύκολο να κρατηθούν. Σχεδόν κάθε γνωστή διανοητική αριθμητική συντόμευση κάνει το ίδιο πράγμα: ανταλλάσσετε ένα βήμα που είναι δύσκολο να κρατήσετε για δύο βήματα που δεν είναι.

Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν διάφορες μεθόδους και αλλάζουν μεταξύ τους

Έρευνα σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι κάνουν πραγματικά την αριθμητική διαπιστώνει ότι δεν εφαρμόζουν μια διαδικασία με συνέπεια. Ανακτούν όταν μπορούν, υπολογίζουν όταν δεν μπορούν και επιλέγουν διαφορετικές διαδρομές για διαφορετικούς αριθμούς, συχνά χωρίς να το προσέχουν. Ο Campbell και ο Xue εξέτασαν τη γνωστική αριθμητική σε ομάδες με διαφορετικό εκπαιδευτικό υπόβαθρο το 2001 και βρήκαν σημαντικές διαφορές στον συνδυασμό των στρατηγικών που χρησιμοποιήθηκαν. Η δεξιότητα που εκπαιδεύεται είναι εν μέρει η επιλογή, όχι μόνο ο υπολογισμός.

Γιατί το ίδιο πρόβλημα είναι εύκολο για έναν άνθρωπο και δύσκολο για άλλον

Δύο άνθρωποι μπορούν να συναντηθούν 16 επί 25 με εντελώς διαφορετικές εμπειρίες. Κάποιος ανακτά ότι 16 επί 25 είναι 400 επειδή τα τέταρτα είναι γνωστά. Άλλος μισό και διπλασιάζεται δύο φορές. Ένα τρίτο διατρέχει τον τυπικό αλγόριθμο και εξαντλείται ο χώρος. Τίποτα από αυτά δεν αφορά τη νοημοσύνη. Αφορά ποια στοιχεία είναι αυτόματα και ποιες διαδρομές έχουν εφαρμοστεί.

Το άγχος καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο

Ο Ashcraft περιέγραψε το 2002 πώς το άγχος των μαθηματικών έχει γνωστικές καθώς και προσωπικές συνέπειες, με την παρεμβατική ανησυχία να καταναλώνει την ίδια μνήμη εργασίας που χρειάζεται ο υπολογισμός. Αυτό παράγει έναν βρόχο αυτοεπιβεβαίωσης: το να ανησυχείς ότι είσαι κακός στην αριθμητική σε κάνει χειρότερο στη στιγμή, κάτι που επιβεβαιώνει την ανησυχία. Γνωρίζοντας ότι ο μηχανισμός είναι ο ανταγωνισμός για έναν περιορισμένο πόρο, παρά η έλλειψη ικανότητας, είναι πραγματικά χρήσιμο.

Τι σημαίνει αυτό για την πίεση

Εάν η λειτουργική μνήμη είναι το σημείο συμφόρησης, τότε οτιδήποτε την καταναλώνει υποβαθμίζει την απόδοση: χρονομέτρηση, παρακολούθηση, κούραση, διακοπή. Ένας υπολογισμός που μπορείτε να κάνετε εύκολα μόνοι σας μπορεί να αποτύχει μπροστά σε κάποιον άλλο, και αυτό είναι πρόβλημα πόρων και όχι πρόβλημα γνώσης. Η εξάσκηση υπό ήπια πίεση χρόνου βοηθάει, αλλά μόνο αφού η μέθοδος είναι σταθερή χωρίς αυτήν.

Το να γράφεις πράγματα δεν είναι εξαπάτηση

Εάν ο περιορισμός περιέχει ενδιάμεσα αποτελέσματα, τότε η εγγραφή ενός καταργεί τον περιορισμό. Δεν υπάρχει τίποτα ενάρετο στο να κουβαλάς έξι ψηφία στο κεφάλι σου όταν ένα κομμάτι χαρτί το κάνει δωρεάν. Αποθηκεύστε την νοητική αριθμητική για τις περιπτώσεις όπου είναι πραγματικά πιο γρήγορο από το να πιάσετε κάτι, που είναι οι περισσότερες καθημερινές περιπτώσεις, και σταματήστε να αντιμετωπίζετε κάθε υπολογισμό ως δοκιμασία.

Εκτίμηση πρώτα, πάντα

Η παραγωγή μιας πρόχειρης απάντησης με στρογγυλοποίηση σκληρού κοστίζει ένα δευτερόλεπτο και συλλαμβάνει τα σημαντικά σφάλματα, τα οποία δεν είναι μικρά ολισθήματα, αλλά λανθασμένες απαντήσεις κατά δέκα φορές. Σας δίνει επίσης κάτι να κρατήσετε αν ο ακριβής υπολογισμός καταρρεύσει στα μισά. Η περισσότερη πραγματική αριθμητική υπάρχει για να υποστηρίξει μια απόφαση, και μια απόφαση συνήθως χρειάζεται τη σωστή τάξη μεγέθους περισσότερο από το τελευταίο ψηφίο.

Πώς αναπτύσσεται πραγματικά η τεχνογνωσία

Όχι μαθαίνοντας περισσότερα κόλπα. Αναπτύσσεται κάνοντας περισσότερα γεγονότα αυτόματα, επομένως λιγότερα βήματα χρειάζονται υπολογισμό και εξασκώντας την επιλογή μεταξύ διαδρομών μέχρι να σταματήσει να είναι επιλογή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η σύντομη συχνή εξάσκηση με άμεση διόρθωση υπερτερεί των μακρών συνεδριών: χτίζετε την ανάκτηση και την επιλογή, και τα δύο δημιουργούνται από την επανάληψη και όχι από την προσπάθεια.

Τι σημαίνει αυτό για την πρακτική

Τρία πράγματα ακολουθούν. Μάθετε τα γεγονότα που αφαιρούν βήματα, που σημαίνει πίνακες, τετράγωνα και τα κοινά κλάσματα και ποσοστά ισοδύναμα. Προτιμήστε μεθόδους που διατηρούν μικρό τον αριθμό των αντικειμένων που κρατούνται, που συνήθως σημαίνει από αριστερά προς τα δεξιά και στρογγυλοποίηση με διόρθωση. Και διορθώστε κάθε λάθος τη στιγμή που συμβαίνει, ονομάζοντας ποιο μέρος έσπασε: τη μέθοδο που επιλέχθηκε, την αριθμητική μέσα σε αυτό ή μια ολίσθηση στη διατήρηση ενός αριθμού.

Όπου ταιριάζει το Numvolt

Το Numvolt έχει μια ήρεμη λειτουργία χωρίς χρονοδιακόπτη, όπου κάθε λάθος απάντηση δείχνει τη μέθοδο πίσω από τη διόρθωση αντί να την επισημαίνει μόνο λάθος, και χρονομετρημένα σπριντ για όταν θέλετε να μετρήσετε την ταχύτητα και την ακρίβεια μαζί. Αυτή η σειρά έχει σημασία, δεδομένων όλων των παραπάνω: δημιουργήστε τη μέθοδο χωρίς πίεση και, στη συνέχεια, προσθέστε πίεση μόλις το να κρατήσετε τα βήματα δεν χρειάζεται πλέον όλη σας την προσοχή.

Περαιτέρω ανάγνωση

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Ashcraft (2002), Math anxiety: personal, educational, and cognitive consequences, Current Directions in Psychological Science
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin