Wie Kopfrechnen im Kopf funktioniert und warum manche Methoden einfacher sind

Zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Antwort zu erhalten

Wenn Sie eine Rechenfrage beantworten, passiert eines von zwei Dingen. Entweder rufen Sie die Antwort auf die Art und Weise ab, wie Sie einen bekannten Namen abrufen, oder Sie berechnen sie in einer Reihe von Schritten. Normalerweise wird sieben mal acht abgerufen. Üblicherweise wird 23 mal sieben berechnet. Diese fühlen sich von innen heraus ähnlich an und sind überhaupt nicht derselbe Prozess, und fast alles, was das Kopfrechnen einfach oder schwer macht, ergibt sich daraus, welchen Vorgang Sie ausführen.

Warum sich das Abrufen sofort anfühlt

Ein abgerufener Sachverhalt kostet fast nichts, da die Arbeit schon Jahre zurückliegt. Du rechnest nicht, du erkennst. Aus diesem Grund bleibt ein richtig erlernter Stundenplan unter Druck verfügbar, während eine Methode, an die Sie sich halb erinnern, in dem Moment zusammenbricht, in dem Sie abgelenkt werden. Die praktische Implikation ist unmodern, aber real: Auswendig gelernte Fakten sind nicht das Gegenteil von Verstehen, sie sind es, die Raum dafür schaffen.

Was passiert, wenn Sie stattdessen rechnen?

Rechnen bedeutet, ein Teilergebnis festzuhalten, während man das nächste erzeugt, und diese dann zu kombinieren. Jeder Schritt ist für sich genommen einfach. Das Erschwerende an der ganzen Sache ist, dass nichts aufgeschrieben wird und jede Zwischennummer am Leben gehalten werden muss, während man an etwas anderem arbeitet. Das ist ein Gedächtnisproblem, wenn man ein Rechenkostüm trägt.

Wo der Arbeitsspeicher knapp wird

DeStefano und LeFevre untersuchten 2004 die Rolle des Arbeitsgedächtnisses beim Kopfrechnen. Es zeigt sich, dass die Belastung real und spezifisch ist: Zwischenergebnisse festzuhalten, den Überblick darüber zu behalten, wo man sich in einem Verfahren befindet, und Störungen durch die Zahlen zu widerstehen, die man bereits verwendet hat. Wenn eine Berechnung zusammenbricht, bricht sie normalerweise an einem dieser drei Punkte zusammen und nicht an der Arithmetik selbst.

Warum das Tragen der teure Teil ist

Tragen ist der Schritt, der Sie dazu zwingt, etwas zu halten, während Sie etwas anderes tun, was genau die oben beschriebene Belastung darstellt. Deshalb ist 48 plus 37 schwieriger als 40 plus 30 plus 8 plus 7, obwohl es die gleiche Summe ist. Methoden, die das Tragen vermeiden, sind keine Tricks, sondern Möglichkeiten, ein Problem so umzustrukturieren, dass es den Teil von Ihnen, der am wahrscheinlichsten scheitert, weniger beansprucht.

Warum von links nach rechts zum Kopf passt

Auf dem Papier arbeitet man von rechts, weil das Tragen es erfordert. In Ihrem Kopf ist diese Reihenfolge verkehrt herum, weil sie Sie dazu zwingt, eine wachsende Zahl von Ziffern festzuhalten, bevor eine von ihnen etwas bedeutet. Wenn Sie von links nach rechts arbeiten, erhalten Sie vom ersten Schritt an eine brauchbare Annäherung und halten die Anzahl der Dinge, die Sie in der Hand halten, gering. Die Methode ist theoretisch nicht schneller, sie ist im Arbeitsspeicher günstiger.

Warum das Runden und dann das Korrigieren günstig ist

Wenn man aus 8 mal 49 8 mal 50 minus 8 macht, wird ein schwerer Schritt durch zwei einfache ersetzt. Es sieht nach mehr Arbeit aus und ist weniger, weil es sich bei den Zwischenwerten um runde Zahlen handelt, die leicht zu halten sind. Fast jede bekannte Abkürzung für Kopfrechnen macht das Gleiche: einen Schritt, der schwer zu halten ist, gegen zwei Schritte, die es nicht sind, einzutauschen.

Menschen nutzen mehrere Methoden und wechseln zwischen ihnen

Untersuchungen darüber, wie Menschen tatsächlich rechnen, haben ergeben, dass sie ein Verfahren nicht konsequent anwenden. Sie rufen ab, wann sie können, rechnen, wenn sie nicht können, und wählen unterschiedliche Routen für unterschiedliche Nummern, oft ohne es zu merken. Campbell und Xue untersuchten 2001 die kognitive Arithmetik in Gruppen mit unterschiedlichem Bildungshintergrund und fanden bedeutende Unterschiede im Mix der verwendeten Strategien. Die Fähigkeit, die trainiert wird, ist zum Teil das Auswählen, nicht nur das Rechnen.

Warum das gleiche Problem für den einen einfach und für den anderen schwer ist

Zwei Menschen können sich 16 mal 25 mit völlig unterschiedlichen Erfahrungen treffen. Man stellt fest, dass 16 mal 25 400 ist, weil Viertel bekannt sind. Ein weiterer halbiert und verdoppelt sich zweimal. Ein dritter durchläuft den Standardalgorithmus und hat keinen Platz mehr. Dabei geht es nicht um Intelligenz. Es geht darum, welche Sachverhalte automatisch vorliegen und welche Wege eingeübt wurden.

Angst nimmt den gleichen Raum ein

Ashcraft beschrieb im Jahr 2002, dass Mathematikangst sowohl kognitive als auch persönliche Folgen hat, wobei aufdringliche Sorgen das gleiche Arbeitsgedächtnis verbrauchen, das die Berechnung benötigt. Dadurch entsteht eine sich selbst bestätigende Schleife: Wenn man sich Sorgen macht, schlecht im Rechnen zu sein, wird man im Moment schlechter darin, was die Sorge bestätigt. Zu wissen, dass es sich bei dem Mechanismus um einen Wettbewerb um eine begrenzte Ressource und nicht um einen Mangel an Fähigkeiten handelt, ist wirklich nützlich.

Was das für Druck bedeutet

Wenn das Arbeitsgedächtnis der Engpass ist, dann beeinträchtigt alles, was es verbraucht, die Leistung: Zeitmessung, Beobachtung, Müdigkeit, Unterbrechungen. Eine Berechnung, die Sie problemlos alleine durchführen können, kann vor jemand anderem scheitern, und das ist eher ein Ressourcenproblem als ein Wissensproblem. Das Üben unter leichtem Zeitdruck hilft, aber erst, wenn die Methode ohne Zeitdruck solide ist.

Dinge aufzuschreiben ist kein Betrug

Wenn die Einschränkung Zwischenergebnisse enthält, wird die Einschränkung durch das Aufschreiben eines Zwischenergebnisses entfernt. Es ist nichts Tugendhaftes daran, sechs Ziffern im Kopf zu haben, wenn ein Stück Papier dies umsonst erledigt. Heben Sie sich das Kopfrechnen für die Fälle auf, in denen es wirklich schneller ist, als nach etwas zu greifen, was in den meisten alltäglichen Fällen der Fall ist, und hören Sie auf, jede Berechnung als Test zu betrachten.

Schätzen Sie immer zuerst

Das Erstellen einer groben Antwort durch starkes Runden kostet eine Sekunde und fängt die wichtigen Fehler auf, bei denen es sich nicht um kleine Ausrutscher, sondern um den Faktor zehn falsche Antworten handelt. Es gibt Ihnen auch etwas, an dem Sie sich festhalten können, wenn die genaue Berechnung auf halbem Weg scheitert. Der größte Teil der echten Arithmetik dient der Unterstützung einer Entscheidung, und eine Entscheidung benötigt in der Regel mehr die richtige Größenordnung als die letzte Ziffer.

Wie Fachwissen tatsächlich entsteht

Nicht durch das Erlernen weiterer Tricks. Es entwickelt sich, indem mehr Fakten automatisiert werden, so dass weniger Schritte berechnet werden müssen, und indem die Wahl zwischen Routen so lange geübt wird, bis sie keine Wahl mehr ist. Aus diesem Grund sind kurze, häufige Übungen mit sofortiger Korrektur längeren Sitzungen überlegen: Sie bauen das Abrufen und Auswählen auf, und beide werden durch Wiederholung und nicht durch Anstrengung aufgebaut.

Was das für die Praxis bedeutet

Es folgen drei Dinge. Lernen Sie die Fakten kennen, die Schritte entfernen, also Tabellen, Quadrate und die gebräuchlichen Brüche und Prozentäquivalente. Bevorzugen Sie Methoden, die die Anzahl der zurückgehaltenen Elemente gering halten, was normalerweise bedeutet, dass von links nach rechts und mit Korrektur gerundet wird. Und korrigieren Sie jeden Fehler in dem Moment, in dem er auftritt, und benennen Sie, welcher Teil kaputt gegangen ist: die gewählte Methode, die darin enthaltene Arithmetik oder ein Fehler beim Halten einer Zahl.

Wo Numvolt passt

Numvolt verfügt über einen ruhigen Modus ohne Timer, in dem bei jeder falschen Antwort die Methode hinter der Korrektur angezeigt wird, anstatt sie nur als falsch zu markieren, und über zeitgesteuerte Sprints, wenn Sie Geschwindigkeit und Genauigkeit gemeinsam messen möchten. Diese Reihenfolge ist in Anbetracht aller oben genannten Punkte wichtig: Bauen Sie die Methode ohne Druck auf und erhöhen Sie dann den Druck, sobald das Halten der Schritte nicht mehr Ihre ganze Aufmerksamkeit beansprucht.

Weiterlesen

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Ashcraft (2002), Math anxiety: personal, educational, and cognitive consequences, Current Directions in Psychological Science
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin