Come funziona l'aritmetica mentale nella tua testa e perché alcuni metodi sono più semplici

Due modi diversi per ottenere una risposta

Quando rispondi a una domanda di aritmetica, accade una delle due cose. O recuperi la risposta, nel modo in cui recuperi un nome familiare, oppure la calcoli attraverso una serie di passaggi. Di solito viene recuperato sette volte otto. Di solito viene calcolato ventitré volte sette. Questi sembrano simili dall'interno e non sono affatto lo stesso processo, e quasi tutto ciò che rende l'aritmetica mentale facile o difficile dipende da quale stai facendo.

Perché il recupero sembra istantaneo

Un fatto recuperato non costa quasi nulla perché il lavoro è stato svolto anni fa. Non stai calcolando, stai riconoscendo. Ecco perché una tabellina appresa correttamente rimane disponibile anche sotto pressione, mentre un metodo che ricordi a metà crolla nel momento in cui sei distratto. Il risvolto pratico è fuori moda ma reale: i fatti memorizzati non sono il contrario della comprensione, sono ciò che le fa spazio.

Cosa succede invece quando calcoli

Calcolare significa conservare un risultato parziale mentre si produce quello successivo, quindi combinarli. Ogni passaggio è facile da solo. Ciò che rende il tutto difficile è che nulla viene scritto, quindi ogni numero intermedio deve essere mantenuto in vita mentre lavori su qualcos'altro. Questo è un problema di memoria che indossa un costume aritmetico.

Dove la memoria di lavoro si esaurisce

DeStefano e LeFevre hanno esaminato il ruolo della memoria di lavoro nell'aritmetica mentale nel 2004, e il quadro che emerge è che il carico è reale e specifico: mantenere risultati intermedi, tenere traccia di dove ci si trova in una procedura e resistere alle interferenze dei numeri già utilizzati. Quando un calcolo crolla, di solito crolla in uno di questi tre punti piuttosto che nell’aritmetica stessa.

Perché trasportare è la parte costosa

Portare è il passo che ti costringe a trattenere qualcosa mentre fai qualcos'altro, che è proprio il carico sopra descritto. Ecco perché 48 più 37 è più difficile di 40 più 30 più 8 più 7, anche se è la stessa somma. I metodi che evitano il trascinamento non sono trucchi, sono modi per ristrutturare un problema in modo che richieda meno la parte di te che ha maggiori probabilità di fallire.

Perché da sinistra a destra si adatta alla testa

Sulla carta si lavora da destra perché il trasporto lo richiede. Nella tua testa quell'ordine è al contrario, perché ti costringe a tenere una coda crescente di cifre prima che qualcuna di esse significhi qualcosa. Lavorare da sinistra a destra ti dà un'approssimazione utilizzabile fin dal primo passaggio e mantiene piccolo il numero di cose che hai in mano. In teoria il metodo non è più veloce, è più economico in termini di memoria di lavoro.

Perché arrotondare e poi correggere è economico

Trasformare 8 per 49 in 8 per 50 meno 8 sostituisce un passaggio difficile con due facili. Sembra più lavoro e lo è meno, perché i valori intermedi sono numeri tondi facili da tenere in mano. Quasi tutte le scorciatoie aritmetiche mentali più conosciute fanno la stessa cosa: scambiare un passo difficile da mantenere con due passi che non lo sono.

Le persone utilizzano diversi metodi e passano dall'uno all'altro

La ricerca su come le persone effettivamente eseguono l'aritmetica rileva che non applicano una procedura in modo coerente. Recuperano quando possono, calcolano quando non possono e scelgono percorsi diversi per numeri diversi, spesso senza accorgersene. Campbell e Xue hanno esaminato l'aritmetica cognitiva tra gruppi con background educativi diversi nel 2001 e hanno trovato differenze significative nel mix di strategie utilizzate. L'abilità che si allena riguarda in parte la scelta, non solo il calcolo.

Perché lo stesso problema è facile per una persona e difficile per un'altra

Due persone possono incontrarsi 16 volte 25 con esperienze completamente diverse. Si ricava che 16 per 25 fa 400 perché i quarti sono familiari. Un altro dimezza e raddoppia due volte. Un terzo si sottopone all'algoritmo standard e rimane senza spazio. Niente di tutto ciò riguarda l’intelligenza. Riguarda quali fatti siano automatici e quali percorsi siano stati praticati.

L’ansia occupa lo stesso spazio

Ashcraft descrisse nel 2002 come l'ansia per la matematica porti conseguenze sia cognitive che personali, con preoccupazioni intrusive che consumano la stessa memoria di lavoro di cui ha bisogno il calcolo. Ciò produce un ciclo di autoconferma: preoccuparsi di non essere bravo in aritmetica ti fa peggiorare in quel momento, il che conferma la preoccupazione. Sapere che il meccanismo è la competizione per una risorsa limitata, piuttosto che una mancanza di capacità, è veramente utile.

Cosa significa per la pressione

Se la memoria di lavoro è il collo di bottiglia, allora tutto ciò che la consuma peggiora le prestazioni: essere cronometrato, essere guardato, essere stanco, essere interrotto. Un calcolo che puoi fare facilmente da solo potrebbe fallire di fronte a qualcun altro, e questo è un problema di risorse piuttosto che un problema di conoscenza. Esercitarsi con una leggera pressione temporale aiuta, ma solo dopo che il metodo è solido anche senza di esso.

Scrivere le cose non è imbrogliare

Se il vincolo contiene risultati intermedi, scriverne uno rimuove il vincolo. Non c'è niente di virtuoso nel portare sei cifre nella tua testa quando un pezzo di carta lo farà gratuitamente. Risparmia l’aritmetica mentale per i casi in cui è veramente più veloce che raggiungere qualcosa, che è la maggior parte dei casi quotidiani, e smetti di considerare ogni calcolo come un test.

Prima la stima, sempre

Produrre una risposta approssimativa arrotondando forte costa un secondo e rileva gli errori che contano, che non sono piccoli errori ma risposte sbagliate di un fattore dieci. Ti dà anche qualcosa a cui aggrapparti se il calcolo esatto fallisce a metà. La maggior parte dell'aritmetica reale esiste per supportare una decisione, e una decisione di solito ha bisogno del giusto ordine di grandezza più dell'ultima cifra.

Come si sviluppa effettivamente la competenza

Non imparando altri trucchi. Si sviluppa rendendo automatici più fatti, in modo che siano necessari meno passaggi da calcolare, e praticando la scelta tra percorsi finché non smette di essere una scelta. Ecco perché una pratica breve e frequente con correzione immediata è più efficace delle sessioni lunghe: stai costruendo il recupero e la selezione, ed entrambi sono costruiti dalla ripetizione piuttosto che dallo sforzo.

Cosa significa questo per la pratica

Seguono tre cose. Impara i fatti che rimuovono i passaggi, il che significa tabelle, quadrati e le frazioni comuni e gli equivalenti percentuali. Preferire metodi che mantengano piccolo il numero di elementi trattenuti, il che di solito significa da sinistra a destra e arrotondamento con correzione. E correggi ogni errore nel momento in cui si verifica, nominando quale parte si è rotta: il metodo scelto, l'aritmetica al suo interno, o un foglietto contenente un numero.

Dove si adatta Numvolt

Numvolt ha una modalità calma senza timer, in cui ogni risposta sbagliata mostra il metodo dietro la correzione anziché solo contrassegnarla come sbagliata, e sprint cronometrati per quando vuoi misurare insieme velocità e precisione. Questo ordine è importante considerando tutto quanto sopra: costruisci il metodo senza pressione, quindi aggiungi pressione una volta che tenere i passaggi non richiede più tutta la tua attenzione.

Per approfondire

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Ashcraft (2002), Math anxiety: personal, educational, and cognitive consequences, Current Directions in Psychological Science
• Campbell & Xue (2001), Cognitive arithmetic across cultures, Journal of Experimental Psychology: General
• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin