Come moltiplicare a mente i numeri a due cifre

Perché i prodotti a due cifre sono difficili

Un prodotto a una cifra come 7 × 8 viene solitamente recuperato dalla memoria anziché calcolato. I prodotti a due cifre non lo sono quasi mai, quindi devi calcolare, e calcolare nella testa significa mantenere risultati parziali mentre si produce quello successivo. La recensione di DeStefano e LeFevre descrive la memoria di lavoro come il collo di bottiglia dell’aritmetica mentale e la moltiplicazione a più cifre la carica pesantemente. Ciascun metodo riportato di seguito riduce quanto detieni in una volta. Nessuno di loro è il migliore per ogni coppia; l'abilità sta nel scegliere quello che si adatta ai numeri che hai di fronte.

Inizia con un numero moltiplicato per una singola cifra

Prima di due cifre per due cifre, rendi automatici i moltiplicatori a cifra singola. 47 × 6 è 40 × 6 più 7 × 6, quindi 240 + 42 = 282. Lavorando prima dalle decine, da sinistra a destra, ottieni presto gran parte della risposta, che è anche la parte che conta di più se vieni interrotto. Questo singolo passaggio è l'elemento fondamentale di ogni metodo che segue.

Metodo uno: scomporre un numero

Il metodo generale consiste nel scomporre un fattore in decine e unità e moltiplicare ciascuna parte. Per 34 × 27, dividi 27 in 20 e 7: 34 × 20 = 680 e 34 × 7 = 238. Quindi 680 + 238 = 918. Hai sempre e solo un totale parziale e un nuovo prodotto parziale, motivo per cui questo metodo funziona per qualsiasi coppia. scomporre qualunque numero dia i prodotti parziali più facili; funzionerebbe anche la suddivisione delle parti 34 in 30 e 4, ottenendo 810 + 108 = 918.

Stima prima di calcolare

Prima di iniziare, arrotonda entrambi i numeri: 34 × 27 è vicino a 30 × 30, quindi il risultato dovrebbe essere vicino a 900. Ci vuole un secondo e rileva gli errori peggiori, come il risultato di 9.180 o 91,8 causato da un valore posizionale spostato. Dà anche un obiettivo alla tua attenzione, quindi l'aggiunta finale sembra una conferma piuttosto che un salto.

Metodo due: rotondo e corretto

Quando un fattore è vicino a un numero tondo, moltiplica per il numero tondo e poi correggi. 29 × 34 è 30 × 34 meno uno 34: 1.020 − 34 = 986. 48 × 15 è 50 × 15 meno 2 × 15: 750 − 30 = 720. La correzione è solitamente una piccola moltiplicazione e il prodotto rotondo è veloce. Il metodo consente di risparmiare di più quando il fattore si trova a uno o due distanti da un multiplo di dieci.

Quando arrotondare è la mossa sbagliata

Rotondo e corretto perde il suo vantaggio quando la correzione stessa è ampia. 36 × 47 arrotondato a 36 × 50 necessita di una correzione di 36 × 3 = 108, ottenendo 1.800 − 108 = 1.692. Funziona, ma la suddivisione in parti, 36 × 40 + 36 × 7 = 1.440 + 252 = 1.692, non è più lenta e non comporta sottrazioni. Come regola generale, arrotondare quando la distanza dal numero tondo è uno o due, altrimenti spezzare.

Metodo tre: la differenza dei quadrati

Quando due numeri si trovano alla stessa distanza su entrambi i lati di un numero tondo, il loro prodotto è il quadrato del numero centrale meno il quadrato della distanza. Ciò deriva dall'identità (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 è 50² − 2² = 2.500 − 4 = 2.496. 37 × 43 è 40² − 3² = 1.600 − 9 = 1.591. 46 × 54 è 2.500 − 16 = 2.484. Il metodo necessita solo dei quadrati dei numeri tondi, che sono facili, e dei quadrati da 1 a 9, che già conosci.

Quando la coppia non è simmetrica

Se i due numeri non sono alla stessa distanza dal centro rotondo, l'idea funziona comunque con una piccola correzione. 47 × 52 è 47 × 53 meno 47 e 47 × 53 è 50² − 3² = 2.491, quindi la risposta è 2.491 − 47 = 2.444. Se questo è diverso dalla rottura in parti dipende dalla persona. Provali entrambi sullo stesso problema e mantieni quello che ti sembra più leggero.

Metodo quattro: numeri appena sotto 100

Per due numeri vicini a 100, calcola quanto ciascuno è inferiore a 100. Per 96 × 97, le distanze sono 4 e 3. Sottrai una distanza dall'altro numero: 96 − 3 = 93, che dà le prime due cifre. Moltiplica le distanze: 4 × 3 = 12, che dà le ultime due cifre. La risposta è 9.312. Lo stesso schema funziona sopra 100: per 103 × 107, aggiungi 103 + 7 = 110 e moltiplica 3 × 7 = 21, ottenendo 11.021. Se il prodotto delle distanze ha una sola cifra, scrivilo con lo zero iniziale: 98 × 97 dà 95 e 06, quindi 9.506.

Perché il metodo Near-100 funziona

È la stessa algebra della scomposizione in parti, disposta per sfruttare il numero tondo: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. La prima parte conta le centinaia e la seconda parte è ciò che resta. Capire perché funziona è più importante che memorizzarlo. Un metodo che conosci può essere adattato, ad esempio, a numeri vicini a 50 o vicino a 1.000, mentre un trucco memorizzato si rompe la prima volta che i numeri cambiano.

Il metodo incrociato

Un altro metodo generale funziona colonna per colonna. Per 43 × 21, le centinaia sono 4 × 2 = 8, le decine sono 4 × 1 + 3 × 2 = 10 e le unità sono 3 × 1 = 3. Combinali: 800 + 100 + 3 = 903. È l'algoritmo scritto nella tua testa e adatto a chi ama una routine fissa. La sua debolezza appare quando il totale medio è grande e raggiunge le centinaia, perché è necessario trattenerlo durante la combinazione, che è esattamente il carico che gli altri metodi evitano.

Scegliere un metodo in due secondi

Guarda la coppia prima di iniziare. Uguale distanza da un numero tondo: differenza di quadrati. Un numero accanto a un multiplo di dieci: tondo e corretto. Entrambi vicini a 100: il metodo quasi 100. Qualsiasi altra cosa: scomponi il numero più facile. Questa scelta è di per sé un'abilità e si sviluppa meglio su problemi misti piuttosto che su venti dello stesso tipo. Rohrer e Taylor hanno scoperto che mescolare i tipi di problemi durante la pratica migliorava le prestazioni dei test successivi rispetto alla pratica di un tipo alla volta.

Controlla la risposta a buon mercato

Due controlli richiedono un secondo ciascuno. L'ultima cifra: 34×27 deve terminare con 8, perché 4×7 = 28. La dimensione: la stima di 900 dice che 918 è plausibile. Nessuno dei due controlli dimostra che la risposta è giusta, ma insieme raccolgono la maggior parte dei lapsus e sono abbastanza veloci da poter essere utilizzati ogni volta.

Prima la precisione, poi la velocità

La pressione del tempo spinge le persone a tornare al metodo più lento e familiare. Lavora senza timer finché la scelta del metodo non diventa automatica, quindi aggiungi un orologio. Quando sbagli un problema, risolvilo correttamente subito invece di andare avanti, in modo che l'ultima versione che provi sia quella giusta.

Dove si adatta Numvolt

Le sessioni di moltiplicazione di Numvolt ti danno problemi su cui esercitarti nella scelta del metodo. Nella modalità Zen non c'è il timer e una risposta sbagliata mostra il metodo dietro la correzione, ovvero il momento di confrontare il proprio percorso con un altro. turni cronometrati di 15, 30 o 60 secondi mostrano quindi se il metodo regge sotto un orologio e una partita a due giocatori su uno iPhone trasforma gli stessi problemi in un gioco con qualcun altro.

Per approfondire

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science