Bagaimana untuk mendarab nombor dua digit dalam kepala anda

Mengapa produk dua angka terasa sukar

Produk satu digit seperti 7 × 8 biasanya diambil daripada ingatan dan bukannya dikira. Produk dua digit hampir tidak pernah, jadi anda perlu mengira, dan pengiraan di kepala bermakna menyimpan hasil separa semasa menghasilkan yang seterusnya. Kajian DeStefano dan LeFevre menerangkan memori kerja sebagai kesesakan aritmetik mental, dan pendaraban berbilang digit memuatkannya dengan banyak. Setiap kaedah di bawah mengurangkan jumlah yang anda pegang sekaligus. Tiada satu pun daripada mereka yang terbaik untuk setiap pasangan; kemahiran memilih yang sesuai dengan nombor di hadapan anda.

Mulakan dengan satu nombor kali satu digit

Sebelum dua digit dengan dua digit, jadikan pengganda satu digit automatik. 47 × 6 ialah 40 × 6 tambah 7 × 6, jadi 240 + 42 = 282. Bekerja dari sepuluh dahulu, kiri ke kanan, memberikan anda sebahagian besar jawapan awal, yang juga merupakan bahagian yang paling penting jika anda terganggu. Langkah tunggal ini adalah asas bagi setiap kaedah yang berikut.

Kaedah satu: pecahkan satu nombor

Kaedah umum adalah untuk memecahkan satu faktor kepada puluhan dan unit dan mendarab setiap bahagian. Untuk 34 × 27, pecahkan 27 kepada 20 dan 7: 34 × 20 = 680 dan 34 × 7 = 238. Kemudian 680 + 238 = 918. Anda hanya pernah memegang satu jumlah berjalan dan satu produk separa baharu, itulah sebabnya kaedah ini berfungsi untuk mana-mana pasangan. pecahkan mana-mana nombor yang memberikan produk separa yang lebih mudah; memecahkan bahagian 34 kepada 30 dan 4 juga akan berfungsi, memberikan 810 + 108 = 918.

Anggarkan sebelum anda mengira

Sebelum bermula, bulatkan kedua-dua nombor: 34 × 27 adalah hampir 30 × 30, jadi jawapannya hendaklah hampir 900. Itu mengambil masa satu saat dan menangkap ralat yang paling teruk, seperti hasil daripada 9,180 atau 91.8 yang disebabkan oleh nilai tempat yang tergelincir. Ia juga memberikan perhatian anda sasaran, jadi penambahan terakhir terasa seperti pengesahan dan bukannya lompatan.

Kaedah kedua: bulat dan betul

Apabila satu faktor hampir dengan nombor bulat, darab dengan nombor bulat dan kemudian betul. 29 × 34 ialah 30 × 34 tolak satu 34: 1,020 − 34 = 986. 48 × 15 ialah 50 × 15 tolak 2 × 15: 750 − 30 = 720. Pembetulan biasanya pendaraban kecil, dan hasil darab bulat adalah cepat. Kaedah ini paling menjimatkan apabila faktor terletak satu atau dua daripada gandaan sepuluh.

Apabila membulatkan adalah langkah yang salah

Bulat dan betul kehilangan kelebihannya apabila pembetulan itu sendiri adalah besar. 36 × 47 dibundarkan kepada 36 × 50 memerlukan pembetulan 36 × 3 = 108, memberikan 1,800 − 108 = 1,692. Itu berfungsi, tetapi pecah menjadi bahagian, 36 × 40 + 36 × 7 = 1,440 + 252 = 1,692, tidak lebih perlahan dan tidak melibatkan penolakan. Sebagai peraturan, bulatkan apabila jarak ke nombor bulat ialah satu atau dua, dan pecahkan sebaliknya.

Kaedah tiga: perbezaan segi empat sama

Apabila dua nombor terletak pada jarak yang sama di kedua-dua belah nombor bulat, hasil darabnya ialah kuasa dua nombor tengah tolak kuasa dua jarak. Ini datang daripada identiti (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 ialah 50² − 2² = 2,500 − 4 = 2,496. 37 × 43 ialah 40² − 3² = 1,600 − 9 = 1,591. 46 × 54 ialah 2,500 − 16 = 2,484. Kaedah ini hanya memerlukan petak nombor bulat, yang mudah, dan petak dari 1 hingga 9, yang anda sudah tahu.

Apabila pasangan tidak simetri

Jika kedua-dua nombor itu tidak sama jarak dari tengah bulat, idea itu masih berfungsi dengan pembetulan kecil. 47 × 52 ialah 47 × 53 tolak 47, dan 47 × 53 ialah 50² − 3² = 2,491, jadi jawapannya ialah 2,491 − 47 = 2,444. Sama ada degupan ini pecah menjadi bahagian bergantung kepada orang itu. Cuba kedua-duanya pada masalah yang sama dan kekalkan masalah yang terasa lebih ringan.

Kaedah empat: nombor di bawah 100

Untuk dua nombor yang hampir 100, kerjakan dengan jarak setiap satu di bawah 100. Untuk 96 × 97, jaraknya ialah 4 dan 3. Tolak satu jarak daripada nombor lain: 96 − 3 = 93, yang memberikan dua digit pertama. Darabkan jarak: 4 × 3 = 12, yang memberikan dua digit terakhir. Jawapannya ialah 9,312. Corak yang sama berfungsi di atas 100: untuk 103 × 107, tambah 103 + 7 = 110 dan darab 3 × 7 = 21, memberikan 11,021. Jika hasil darab jarak hanya mempunyai satu digit, tulis dengan sifar pendahuluan: 98 × 97 memberikan 95 dan 06, jadi 9,506.

Mengapa kaedah hampir-100 berfungsi

Ia adalah algebra yang sama seperti pecah bahagian, disusun untuk mengeksploitasi nombor bulat: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. Bahagian pertama mengira ratusan dan bahagian kedua adalah yang tinggal. Memahami mengapa ia berfungsi lebih penting daripada menghafalnya. Kaedah yang anda fahami boleh disesuaikan, contohnya kepada nombor hampir 50 atau hampir 1,000, manakala helah yang dihafal pecah pada kali pertama nombor berubah.

Kaedah silang

Kaedah umum lain berfungsi lajur demi lajur. Untuk 43 × 21, beratus-ratus ialah 4 × 2 = 8, puluh-puluh ialah 4 × 1 + 3 × 2 = 10, dan unitnya ialah 3 × 1 = 3. Gabungkan mereka: 800 + 100 + 3 = 903. Ia adalah algoritma bertulis yang dilakukan dalam kepala anda, dan ia sesuai dengan orang yang sukakan rutin tetap. Kelemahannya muncul apabila jumlah tengah besar dan mencecah ratusan, kerana anda mesti memegangnya semasa menggabungkan, iaitu beban yang dielakkan oleh kaedah lain.

Memilih kaedah dalam dua saat

Lihat pasangan sebelum anda mula. Jarak yang sama dari nombor bulat: perbezaan segi empat sama. Satu nombor di sebelah gandaan sepuluh: bulat dan betul. Kedua-duanya hampir 100: kaedah hampir 100. Apa-apa lagi: pecahkan nombor yang lebih mudah. Pilihan ini sendiri adalah kemahiran, dan ia berkembang paling baik pada masalah bercampur dan bukannya dua puluh jenis yang sama. Rohrer dan Taylor mendapati bahawa merombak jenis masalah semasa latihan meningkatkan prestasi ujian kemudian berbanding dengan berlatih satu jenis pada satu masa.

Semak jawapan dengan murah

Dua cek mengambil masa satu saat setiap satu. Digit terakhir: 34 × 27 mesti berakhir dengan 8, kerana 4 × 7 = 28. Saiz: anggaran 900 mengatakan bahawa 918 adalah munasabah. Semakan tidak membuktikan jawapan betul, tetapi bersama-sama mereka menangkap kebanyakan slip, dan mereka cukup pantas untuk digunakan setiap masa.

Ketepatan dahulu, kemudian kelajuan

Tekanan masa mendorong orang kembali kepada kaedah paling perlahan dan biasa mereka. Bekerja tanpa pemasa sehingga memilih kaedah adalah automatik, kemudian tambahkan jam. Apabila anda mendapat masalah yang salah, buat semula masalah yang sama dengan betul terus dan bukannya teruskan, supaya versi terakhir yang anda latih tubi adalah yang betul.

Di mana Numvolt sesuai

Sesi pendaraban Numvolt memberi anda masalah untuk mempraktikkan pilihan kaedah. Dalam mod Zen tiada pemasa, dan jawapan yang salah menunjukkan kaedah di sebalik pembetulan, iaitu masa untuk membandingkan laluan anda dengan laluan yang lain. pusingan masa 15, 30 atau 60 saat kemudian tunjukkan sama ada kaedah itu bertahan di bawah satu jam, dan perlawanan dua pemain pada satu iPhone menukar masalah yang sama menjadi permainan dengan orang lain.

Bacaan lanjut

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science