اپنے سر میں دو ہندسوں کی تعداد کو کیسے ضرب کریں۔

دو ہندسوں کی مصنوعات کیوں مشکل محسوس کرتی ہیں۔

ایک عددی مصنوعات جیسے کہ 7 × 8 عام طور پر حساب کی بجائے میموری سے حاصل کی جاتی ہے۔ دو ہندسوں والی مصنوعات تقریباً کبھی نہیں ہوتیں، اس لیے آپ کو حساب لگانا پڑتا ہے، اور سر میں کمپیوٹنگ کرنے کا مطلب ہے کہ اگلی تیار کرتے وقت جزوی نتائج کو برقرار رکھنا۔ DeStefano اور LeFevre کا جائزہ ورکنگ میموری کو ذہنی ریاضی کی رکاوٹ کے طور پر بیان کرتا ہے، اور کثیر ہندسوں کی ضرب اس پر بہت زیادہ بوجھ ڈالتی ہے۔ نیچے دیا گیا ہر طریقہ کم کرتا ہے کہ آپ ایک بار میں کتنی مقدار رکھتے ہیں۔ ان میں سے کوئی بھی ہر جوڑے کے لیے بہترین نہیں ہے۔ مہارت اس کا انتخاب کر رہی ہے جو آپ کے سامنے نمبروں کے مطابق ہو۔

ایک عدد کے ساتھ ایک ہندسے سے شروع کریں۔

دو ہندسوں سے دو ہندسوں سے پہلے، سنگل ہندسوں کے ملٹی پلائر کو خودکار بنائیں۔ 47 × 6 40 × 6 جمع 7 × 6 ہے، لہذا 240 + 42 = 282۔ دسیوں سے پہلے بائیں سے دائیں کام کرنے سے، آپ کو جواب کا بڑا حصہ جلد مل جاتا ہے، جو کہ وہ حصہ بھی ہے جو سب سے زیادہ اہمیت رکھتا ہے اگر آپ رکاوٹ ڈالتے ہیں۔ یہ واحد قدم ہر اس طریقہ کار کا بنیادی بلاک ہے جو اس کے بعد آتا ہے۔

طریقہ ایک: ایک نمبر کو الگ کریں۔

عام طریقہ یہ ہے کہ ایک عنصر کو دسیوں اور اکائیوں میں توڑا جائے اور ہر حصے کو ضرب دیا جائے۔ 34 × 27 کے لیے، 27 کو 20 اور 7 میں توڑ دیں: 34 × 20 = 680 اور 34 × 7 = 238۔ پھر 680 + 238 = 918۔ آپ کبھی بھی صرف ایک چلنے والی کل اور ایک نئی جزوی مصنوعات کو رکھتے ہیں، یہی وجہ ہے کہ یہ طریقہ کسی بھی جوڑے کے لیے کام کرتا ہے۔ جو بھی نمبر آسان جزوی مصنوعات دیتا ہے اسے الگ کر دیں۔ حصوں 34 کو 30 اور 4 میں توڑنا بھی کام کرے گا، 810 + 108 = 918 دے گا۔

حساب لگانے سے پہلے اندازہ لگائیں۔

شروع کرنے سے پہلے، دونوں نمبروں کو گول کریں: 34 × 27 30 × 30 کے قریب ہے، اس لیے جواب 900 کے قریب ہونا چاہیے۔ اس میں ایک سیکنڈ لگتا ہے اور بدترین خرابیاں پکڑ لیتی ہیں، جیسے کہ 9,180 یا 91.8 کے نتیجے میں جگہ کی قدر پھسلنے کی وجہ سے۔ یہ آپ کی توجہ کو ایک ہدف بھی دیتا ہے، لہذا حتمی اضافہ چھلانگ کے بجائے تصدیق کی طرح محسوس ہوتا ہے۔

طریقہ دو: گول اور درست

جب ایک فیکٹر گول نمبر کے قریب ہو تو گول نمبر سے ضرب کریں اور پھر درست کریں۔ 29 × 34 ہے 30 × 34 مائنس ون 34: 1,020 − 34 = 986۔ 48 × 15 ہے 50 × 15 مائنس 2 × 15: 750 − 30 = 720۔ تصحیح عام طور پر ایک چھوٹی ضرب ہوتی ہے، اور گول مصنوع تیز ہوتی ہے۔ طریقہ اس وقت سب سے زیادہ بچت کرتا ہے جب عامل دس کے کثیر سے ایک یا دو دور بیٹھتا ہے۔

جب گول کرنا غلط اقدام ہے۔

گول اور درست اپنا فائدہ کھو دیتا ہے جب اصلاح خود بڑی ہوتی ہے۔ 36 × 47 کو 36 × 50 پر گول کرنے کے لیے 36 × 3 = 108 کی اصلاح کی ضرورت ہے، 1,800 − 108 = 1,692 دیتا ہے۔ یہ کام کرتا ہے، لیکن حصوں کو توڑنا، 36 × 40 + 36 × 7 = 1,440 + 252 = 1,692، کوئی سست نہیں ہے اور اس میں کوئی گھٹاؤ شامل نہیں ہے۔ انگوٹھے کے اصول کے طور پر، گول کریں جب راؤنڈ نمبر کا فاصلہ ایک یا دو ہو، اور دوسری صورت میں الگ ہو جائیں۔

طریقہ تین: مربعوں کا فرق

جب دو عدد ایک گول نمبر کے دونوں طرف مساوی فاصلے پر بیٹھتے ہیں، تو ان کی مصنوع درمیانی نمبر کا مربع ہے مائنس فاصلے کا مربع۔ یہ شناخت (a − b) × (a + b) = a² − b² سے آتا ہے۔ 48 × 52 50² − 2² = 2,500 − 4 = 2,496 ہے۔ 37 × 43 40² − 3² = 1,600 −9 = 1,591 ہے۔ 46 × 54 2,500 −16 = 2,484 ہے۔ طریقہ کار کے لیے صرف گول نمبروں کے مربعوں کی ضرورت ہے، جو آسان ہیں، اور 1 سے 9 کے مربعوں کی، جو آپ پہلے سے جانتے ہیں۔

جب جوڑا ہموار نہ ہو۔

اگر دو نمبر ایک گول درمیان سے یکساں فاصلہ نہیں رکھتے ہیں، تب بھی خیال ایک چھوٹی سی اصلاح کے ساتھ کام کرتا ہے۔ 47 × 52 ہے 47 × 53 مائنس 47، اور 47 × 53 ہے 50² − 3² = 2,491، تو جواب ہے 2,491 −47 = 2,444۔ آیا یہ دھڑکن حصوں میں بٹ جاتی ہے اس کا انحصار شخص پر ہے۔ دونوں کو ایک ہی مسئلہ پر آزمائیں اور جو ہلکا محسوس ہو اسے رکھیں۔

طریقہ چار: 100 سے نیچے کی تعداد

100 کے قریب دو نمبروں کے لیے، اس کے ساتھ کام کریں کہ ہر ایک 100 سے کتنی کم ہے۔ 96 × 97 کے لیے، فاصلے 4 اور 3 ہیں۔ دوسرے نمبر سے ایک فاصلہ گھٹائیں: 96 − 3 = 93، جو پہلے دو ہندسے دیتا ہے۔ فاصلوں کو ضرب دیں: 4 × 3 = 12، جو آخری دو ہندسے دیتا ہے۔ جواب 9,312 ہے۔ ایک ہی پیٹرن 100 سے اوپر کام کرتا ہے: 103 × 107 کے لیے، 103 + 7 = 110 شامل کریں اور 3 × 7 = 21 کو ضرب دیں، 11,021 دیں۔ اگر فاصلوں کی مصنوع میں صرف ایک ہندسہ ہے تو اسے پہلے صفر کے ساتھ لکھیں: 98 × 97 دیتا ہے 95 اور 06، تو 9,506۔

100 کے قریب طریقہ کیوں کام کرتا ہے۔

یہ وہی الجبرا ہے جیسا کہ حصوں کو توڑنا، گول نمبر کو استعمال کرنے کے لیے ترتیب دیا گیا ہے: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b۔ پہلا حصہ سینکڑوں کا شمار کرتا ہے اور دوسرا حصہ وہ ہے جو باقی ہے۔ یہ سمجھنا کہ یہ کیوں کام کرتا ہے اسے یاد کرنے سے زیادہ اہمیت رکھتا ہے۔ ایک طریقہ جسے آپ سمجھتے ہیں، مثال کے طور پر 50 کے قریب یا 1000 کے قریب کے نمبروں کے لیے ڈھال لیا جا سکتا ہے، جب کہ ایک حفظ شدہ چال پہلی بار نمبر بدلنے پر ٹوٹ جاتی ہے۔

کراس کا طریقہ

ایک اور عمومی طریقہ کالم کے حساب سے کام کرتا ہے۔ 43 × 21 کے لیے، سینکڑوں ہیں 4 × 2 = 8، دسیاں ہیں 4 × 1 + 3 × 2 = 10، اور اکائیاں 3 × 1 = 3 ہیں۔ ان کو یکجا کریں: 800 + 100 + 3 = 903۔ یہ ایک تحریری الگورتھم ہے جو آپ کے سر میں انجام دیا جاتا ہے، اور یہ لوگوں کی طرح درست کرتا ہے۔ اس کی کمزوری اس وقت ظاہر ہوتی ہے جب درمیانی ٹوٹل بڑا ہوتا ہے اور سینکڑوں تک پہنچ جاتا ہے، کیونکہ آپ کو جمع کرتے وقت اسے پکڑنا چاہیے، جو بالکل وہی بوجھ ہے جس سے دوسرے طریقے گریز کرتے ہیں۔

دو سیکنڈ میں طریقہ منتخب کرنا

شروع کرنے سے پہلے جوڑی کو دیکھو۔ گول نمبر سے مساوی فاصلہ: مربعوں کا فرق۔ دس کے ضرب کے آگے ایک عدد: گول اور درست۔ دونوں 100 کے قریب: 100 کے قریب طریقہ۔ اور کچھ بھی: آسان نمبر کو الگ کر دیں۔ یہ انتخاب بذات خود ایک ہنر ہے، اور یہ ایک ہی قسم کے بیس کے بجائے مخلوط مسائل پر بہترین طریقے سے تیار ہوتا ہے۔ Rohrer اور Taylor نے پایا کہ مشق کے دوران مسائل کی قسموں کو بدلنے سے بعد میں ٹیسٹ کی کارکردگی میں ایک وقت میں ایک قسم کی مشق کرنے کے مقابلے میں بہتری آئی۔

سستے جواب کو چیک کریں۔

دو چیکوں میں ایک ایک سیکنڈ لگتا ہے۔ آخری ہندسہ: 34 × 27 کا اختتام 8 پر ہونا چاہیے، کیونکہ 4 × 7 = 28۔ سائز: 900 کا تخمینہ کہتا ہے کہ 918 قابل فہم ہے۔ نہ ہی چیک جواب کو درست ثابت کرتا ہے، لیکن وہ مل کر زیادہ تر سلپس پکڑتے ہیں، اور وہ ہر بار استعمال کرنے کے لیے کافی تیز ہیں۔

پہلے درستگی، پھر رفتار

وقت کا دباؤ لوگوں کو ان کے سست ترین، سب سے زیادہ مانوس طریقہ کی طرف واپس دھکیل دیتا ہے۔ ٹائمر کے بغیر اس وقت تک کام کریں جب تک کہ طریقہ کا انتخاب خودکار نہ ہو، پھر ایک گھڑی شامل کریں۔ جب آپ کو کوئی مسئلہ غلط ہو جاتا ہے، تو آگے بڑھنے کی بجائے اسی مسئلے کو فوراً درست طریقے سے دوبارہ کریں، تاکہ آخری ورژن جس کی آپ مشق کریں وہ صحیح ہو۔

جہاں Numvolt فٹ بیٹھتا ہے۔

Numvolt کے ضرب کے سیشنز آپ کو طریقہ کے انتخاب پر عمل کرنے میں مشکلات پیش کرتے ہیں۔ Zen موڈ میں کوئی ٹائمر نہیں ہے، اور ایک غلط جواب اصلاح کے پیچھے طریقہ دکھاتا ہے، جو آپ کے راستے کا کسی دوسرے سے موازنہ کرنے کا لمحہ ہے۔ 15، 30 یا 60 سیکنڈ کے مقررہ راؤنڈز پھر دکھائیں کہ آیا طریقہ ایک گھڑی کے نیچے ہے، اور ایک iPhone پر دو کھلاڑیوں کا میچ انہی مسائل کو کسی اور کے ساتھ کھیل میں بدل دیتا ہے۔

مزید پڑھنا

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science