अपने दिमाग में दो अंकों की संख्याओं को कैसे गुणा करें

दो-अंकीय उत्पाद कठिन क्यों लगते हैं?

7 × 8 जैसे एकल-अंकीय उत्पाद को आमतौर पर गणना के बजाय मेमोरी से पुनर्प्राप्त किया जाता है। दो-अंकीय उत्पाद लगभग कभी नहीं होते हैं, इसलिए आपको गणना करनी होगी, और दिमाग में गणना करने का मतलब है कि अगले परिणाम का उत्पादन करते समय आंशिक परिणाम रखना। डेस्टेफ़ानो और लेफ़ेवरे की समीक्षा में कार्यशील मेमोरी को मानसिक अंकगणित की अड़चन के रूप में वर्णित किया गया है, और बहु-अंकीय गुणन इस पर भारी भार डालता है। नीचे दी गई प्रत्येक विधि आपके पास एक बार में कितनी मात्रा है उसे कम कर देती है। उनमें से कोई भी प्रत्येक जोड़ी के लिए सर्वोत्तम नहीं है; कौशल उसे चुनना है जो आपके सामने संख्याओं पर फिट बैठता है।

एक संख्या को एक अंक से गुणा करके प्रारंभ करें

दो अंकों से दो अंकों से पहले, एकल-अंक गुणक को स्वचालित बनाएं। 47 × 6, 40 × 6 प्लस 7 × 6 है, इसलिए 240 + 42 = 282। पहले दहाई से बाएं से दाएं काम करने से आपको उत्तर का बड़ा हिस्सा जल्दी मिल जाता है, जो कि वह हिस्सा भी है जो आपके बाधित होने पर सबसे ज्यादा मायने रखता है। यह एकल चरण अनुसरण की जाने वाली प्रत्येक विधि का निर्माण खंड है।

विधि एक: एक संख्या को अलग करें

सामान्य विधि एक गुणनखंड को दहाई और इकाइयों में विभाजित करना और प्रत्येक भाग को गुणा करना है। 34 × 27 के लिए, 27 को 20 और 7 में विभाजित करें: 34 × 20 = 680 और 34 × 7 = 238। फिर 680 + 238 = 918। आपके पास केवल एक चालू कुल और एक नया आंशिक उत्पाद है, यही कारण है कि यह विधि किसी भी जोड़ी के लिए काम करती है। जो भी संख्या आसान आंशिक उत्पाद देती है उसे अलग कर दें; भाग 34 को 30 और 4 में तोड़ना भी काम करेगा, जिससे 810 + 108 = 918 प्राप्त होगा।

गणना करने से पहले अनुमान लगाएं

शुरू करने से पहले, दोनों संख्याओं को गोल करें: 34 × 27, 30 × 30 के करीब है, इसलिए उत्तर 900 के करीब होना चाहिए। इसमें एक सेकंड लगता है और सबसे खराब त्रुटियों को पकड़ता है, जैसे कि खिसके हुए स्थानीय मान के कारण 9,180 या 91.8 का परिणाम। यह आपका ध्यान एक लक्ष्य पर भी केंद्रित करता है, इसलिए अंतिम जोड़ छलांग के बजाय पुष्टि जैसा लगता है।

विधि दो: गोल और सही

जब एक गुणनखंड पूर्णांक संख्या के करीब हो, तो पूर्णांक संख्या से गुणा करें और फिर सही करें। 29 × 34 है 30 × 34 घटा एक 34: 1,020 - 34 = 986। 48 × 15 है 50 × 15 घटा 2 × 15: 750 - 30 = 720। सुधार आम तौर पर एक छोटा गुणा होता है, और गोल उत्पाद त्वरित होता है। यह विधि सबसे अधिक बचत तब करती है जब कारक दस के गुणज से एक या दो दूर बैठता है।

जब गोलाई गलत कदम है

जब सुधार स्वयं बड़ा होता है तो राउंड और करेक्ट अपना लाभ खो देता है। 36 × 47 को 36 × 50 तक पूर्णांकित करने पर 36 × 3 = 108 के सुधार की आवश्यकता होती है, जिससे 1,800 − 108 = 1,692 प्राप्त होता है। यह काम करता है, लेकिन भागों में तोड़ना, 36 × 40 + 36 × 7 = 1,440 + 252 = 1,692, धीमा नहीं है और इसमें कोई घटाव शामिल नहीं है। सामान्य नियम के अनुसार, जब गोल संख्या की दूरी एक या दो हो तब गोल करें, अन्यथा तोड़ दें।

विधि तीन: वर्गों का अंतर

जब दो संख्याएँ किसी गोल संख्या के दोनों ओर समान दूरी पर बैठती हैं, तो उनका गुणनफल मध्य संख्या का वर्ग घटाकर दूरी का वर्ग होता है। यह पहचान (a - b) × (a + b) = a² - b² से आता है। 48 × 52, 50² - 2² = 2,500 - 4 = 2,496 है। 37 × 43, 40² - 3² = 1,600 - 9 = 1,591 है। 46 × 54 2,500 − 16 = 2,484 है। विधि में केवल गोल संख्याओं के वर्गों की आवश्यकता होती है, जो आसान हैं, और 1 से 9 तक के वर्गों की, जिन्हें आप पहले से ही जानते हैं।

जब जोड़ा सममित नहीं है

यदि दो संख्याएँ एक गोल मध्य से समान दूरी पर नहीं हैं, तो विचार अभी भी एक छोटे से सुधार के साथ काम करता है। 47 × 52, 47 × 53 घटा 47 है, और 47 × 53, 50² - 3² = 2,491 है, इसलिए उत्तर 2,491 - 47 = 2,444 है। यह धड़कन टुकड़ों में टूटती है या नहीं यह व्यक्ति पर निर्भर करता है। दोनों को एक ही समस्या पर आज़माएं और जो हल्का लगे उसे रखें।

विधि चार: 100 से ठीक नीचे की संख्याएँ

100 के करीब दो संख्याओं के लिए, प्रत्येक 100 से कितनी दूर है, इस पर काम करें। 96 × 97 के लिए, दूरियाँ 4 और 3 हैं। दूसरी संख्या से एक दूरी घटाएँ: 96 − 3 = 93, जो पहले दो अंक देता है। दूरियों को गुणा करें: 4 × 3 = 12, जो अंतिम दो अंक देता है। उत्तर है 9,312. यही पैटर्न 100 से ऊपर काम करता है: 103 × 107 के लिए, 103 + 7 = 110 जोड़ें और 3 × 7 = 21 गुणा करें, जिससे 11,021 प्राप्त होता है। यदि दूरियों के गुणनफल में केवल एक अंक है, तो इसे अग्रणी शून्य के साथ लिखें: 98 × 97 से 95 और 06 मिलते हैं, इसलिए 9,506।

100 के करीब विधि क्यों काम करती है

यह वही बीजगणित है जिसे भागों में तोड़कर, गोल संख्या का फायदा उठाने के लिए व्यवस्थित किया गया है: (100 - ए) × (100 - बी) = 100 × (100 - ए - बी) + ए × बी। पहला भाग सैकड़ों की गिनती करता है और दूसरा भाग वह है जो शेष रहता है। यह क्यों काम करता है यह याद रखने से ज्यादा मायने रखता है। एक विधि जिसे आप समझते हैं उसे अनुकूलित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए 50 के करीब या 1,000 के करीब की संख्याओं के लिए, जबकि एक याद की गई चाल पहली बार संख्या बदलने पर टूट जाती है।

क्रॉस विधि

एक अन्य सामान्य विधि कॉलम दर कॉलम काम करती है। 43 × 21 के लिए, सैकड़ों 4 × 2 = 8 हैं, दहाई 4 × 1 + 3 × 2 = 10 हैं, और इकाइयाँ 3 × 1 = 3 हैं। उन्हें संयोजित करें: 800 + 100 + 3 = 903। यह आपके दिमाग में निष्पादित लिखित एल्गोरिदम है, और यह उन लोगों के लिए उपयुक्त है जो एक निश्चित दिनचर्या पसंद करते हैं। इसकी कमजोरी तब प्रकट होती है जब मध्य कुल बड़ा होता है और सैकड़ों तक पहुंच जाता है, क्योंकि संयोजन करते समय आपको इसे पकड़ना होगा, जो कि वास्तव में वह भार है जिससे अन्य विधियां बचती हैं।

दो सेकंड में एक विधि चुनना

शुरू करने से पहले जोड़ी को देख लें। गोल संख्या से समान दूरी : वर्गों का अंतर। दस के गुणज के आगे एक संख्या: पूर्णांक और सही। दोनों 100 के करीब: 100 के करीब विधि। और कुछ भी: आसान संख्या को अलग कर दें। यह विकल्प अपने आप में एक कौशल है, और यह एक ही तरह की बीस समस्याओं के बजाय मिश्रित समस्याओं पर सबसे अच्छा विकसित होता है। रोहरर और टेलर ने पाया कि अभ्यास के दौरान समस्या प्रकारों में फेरबदल से एक समय में एक प्रकार के अभ्यास की तुलना में बाद के परीक्षण प्रदर्शन में सुधार हुआ।

सस्ते में उत्तर जांचें

दो चेकों में एक-एक सेकंड का समय लगता है। अंतिम अंक: 34 × 27 को 8 में समाप्त होना चाहिए, क्योंकि 4 × 7 = 28। आकार: 900 का अनुमान कहता है कि 918 प्रशंसनीय है। कोई भी जाँच उत्तर को सही साबित नहीं करती है, लेकिन साथ में वे अधिकांश पर्चियाँ पकड़ लेते हैं, और वे हर बार उपयोग करने के लिए पर्याप्त तेज़ होते हैं।

पहले सटीकता, फिर गति

समय का दबाव लोगों को उनकी सबसे धीमी, सबसे परिचित पद्धति पर वापस धकेल देता है। जब तक कोई विधि चुनना स्वचालित न हो जाए तब तक बिना टाइमर के काम करें, फिर एक घड़ी जोड़ें। जब आपको कोई समस्या गलत लगती है, तो आगे बढ़ने के बजाय तुरंत उसी समस्या को सही ढंग से दोबारा हल करें, ताकि आप जो अंतिम संस्करण का अभ्यास करें वह सही हो।

जहां Numvolt फिट बैठता है

Numvolt के गुणन सत्र आपको विधि के चयन का अभ्यास करने में समस्याएँ देते हैं। Zen मोड में कोई टाइमर नहीं है, और एक गलत उत्तर सुधार के पीछे की विधि दिखाता है, जो आपके रूट की दूसरे के साथ तुलना करने का क्षण है। 15, 30 या 60 सेकंड के समयबद्ध राउंड से पता चलता है कि क्या विधि एक घड़ी के अंतर्गत है, और एक iPhone पर दो-खिलाड़ियों का मैच समान समस्याओं को किसी और के साथ गेम में बदल देता है।

और पढ़ें

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science