Как умножать двузначные числа в уме

Почему двузначные продукты кажутся трудными

Однозначное произведение, например 7 × 8, обычно извлекается из памяти, а не вычисляется. Двузначных продуктов почти никогда не бывает, поэтому приходится вычислять, а вычисления в голове означают сохранение частичных результатов при получении следующего. В обзоре ДеСтефано и Лефевра рабочая память описывается как узкое место в ментальной арифметике, а многозначное умножение сильно ее нагружает. Каждый приведенный ниже метод уменьшает сумму, которую вы держите одновременно. Ни один из них не подходит для каждой пары; навык заключается в выборе того, которое соответствует числам перед вами.

Начните с одного числа, умноженного на одну цифру

Прежде чем две цифры на две цифры, сделайте однозначные множители автоматическими. 47 × 6 — это 40 × 6 плюс 7 × 6, поэтому 240 + 42 = 282. Работая сначала с десятками, слева направо, вы получите большую часть ответа заранее, что также является наиболее важной частью, если вас прерывают. Этот единственный шаг является строительным блоком каждого последующего метода.

Способ первый: разбить одно число

Общий метод состоит в том, чтобы разбить один множитель на десятки и единицы и умножить каждую часть. Для 34 × 27 разбейте 27 на 20 и 7: 34 × 20 = 680 и 34 × 7 = 238. Тогда 680 + 238 = 918. У вас всегда есть только одна промежуточная сумма и один новый частичный продукт, поэтому этот метод работает для любой пары. разбейте то число, которое дает более простые частичные продукты; разбиение части 34 на 30 и 4 также сработает, что даст 810 + 108 = 918.

Оцените, прежде чем рассчитывать

Прежде чем начать, округлите оба числа: 34 × 27 близко к 30 × 30, поэтому ответ должен быть около 900. Это занимает секунду и выявляет самые серьезные ошибки, такие как результат 9180 или 91,8, вызванный пропущенным значением разряда. Это также дает вашему вниманию цель, поэтому последнее добавление воспринимается скорее как подтверждение, а не как скачок.

Способ второй: круглый и правильный

Если один из факторов близок к круглому числу, умножьте его на круглое число и затем исправьте. 29 × 34 — это 30 × 34 минус один 34: 1020 — 34 = 986. 48 × 15 — это 50 × 15 минус 2 × 15: 750 — 30 = 720. Коррекция обычно представляет собой небольшое умножение, и округление происходит быстро. Этот метод дает наибольшую экономию, когда коэффициент находится на расстоянии одного или двух от кратного десяти.

Когда округление – неправильный ход

Круглый и правильный теряет свое преимущество, когда сама коррекция велика. 36 × 47, округленное до 36 × 50, требует поправки 36 × 3 = 108, что дает 1800–108 = 1692. Это работает, но разбиение на части 36 × 40 + 36 × 7 = 1440 + 252 = 1692 происходит не медленнее и не требует вычитания. Как правило, округляйте, когда расстояние до круглого номера равно одному или двум, и разбивайте в противном случае.

Способ третий: разница квадратов

Когда два числа расположены на одинаковом расстоянии по обе стороны от круглого числа, их произведение равно квадрату среднего числа минус квадрат расстояния. Это следует из тождества (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 равно 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496. 37 × 43 равно 40² − 3² = 1600 − 9 = 1591. 46 × 54 — это 2500–16 = 2484. Для этого метода нужны только квадраты круглых чисел, которые несложны, и квадраты от 1 до 9, которые вы уже знаете.

Когда пара несимметрична

Если два числа находятся на разном расстоянии от круглой середины, идея все равно работает с небольшой коррекцией. 47 × 52 — это 47 × 53 минус 47, а 47 × 53 — это 50² − 3² = 2491, поэтому ответ: 2491 − 47 = 2444. Будет ли это лучше, чем разрыв на части, зависит от человека. Попробуйте оба варианта решения одной и той же проблемы и оставьте тот, который кажется легче.

Способ четвертый: числа чуть ниже 100

Для двух чисел, близких к 100, определите, насколько каждое из них меньше 100. Для 96 × 97 расстояния равны 4 и 3. Вычтите одно расстояние из другого числа: 96 − 3 = 93, что даст первые две цифры. Умножьте расстояния: 4×3 = 12, что даст две последние цифры. Ответ: 9312. Тот же шаблон работает и выше 100: для 103 × 107 добавьте 103 + 7 = 110 и умножьте 3 × 7 = 21, получив 11 021. Если произведение расстояний имеет только одну цифру, запишите его с нулем в начале: 98 × 97 дает 95 и 06, то есть 9506.

Почему метод «около 100» работает

Это та же алгебра, что и разбиение на части, устроенное так, чтобы использовать круглое число: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. Первая часть считает сотни, а вторая часть — то, что осталось. Понимание того, почему это работает, важнее, чем запоминание. Понятный вам метод можно адаптировать, например, к числам около 50 или около 1000, тогда как заученный трюк ломается при первом изменении чисел.

Крестовый метод

Другой общий метод работает столбец за столбцом. Для 43 × 21 сотни — это 4 × 2 = 8, десятки — 4 × 1 + 3 × 2 = 10, а единицы — 3 × 1 = 3. Объедините их: 800 + 100 + 3 = 903. Это записанный алгоритм, выполняемый в вашей голове, и он подходит людям, которым нравится фиксированный распорядок дня. Его слабость проявляется, когда средний итог велик и достигает сотен, потому что приходится удерживать его при объединении, а это именно та нагрузка, которую избегают другие методы.

Выбор метода за две секунды

Прежде чем начать, посмотрите на пару. Равное расстояние от круглого числа: разность квадратов. Одно число рядом с кратным десяти: круглое и правильное. Оба близки к 100: метод около 100. Что-нибудь еще: разбейте более простое число. Этот выбор сам по себе является навыком, и он лучше всего развивается на смешанных задачах, а не на двадцати однотипных. Рорер и Тейлор обнаружили, что перетасовка типов задач во время практики улучшает результаты последующих тестов по сравнению с отработкой одного типа за раз.

Проверьте ответ недорого

Две проверки занимают по секунде каждая. Последняя цифра: 34×27 должна заканчиваться на 8, потому что 4×7 = 28. Размер: оценка 900 говорит, что 918 правдоподобно. Ни одна из проверок не доказывает правильности ответа, но вместе они выявляют большинство ошибок и достаточно быстры, чтобы их можно было использовать каждый раз.

Сначала точность, потом скорость

Нехватка времени вынуждает людей возвращаться к их самому медленному и привычному методу. Работайте без таймера, пока выбор метода не станет автоматическим, затем добавьте часы. Если вы неправильно поняли задачу, немедленно повторите ее правильно, а не двигайтесь дальше, чтобы последняя версия, которую вы отрепетировали, была правильной.

Где подходит Numvolt

Сеансы умножения Numvolt доставляют вам проблемы с отработкой выбора метода. В режиме Zen таймер отсутствует, а неправильный ответ показывает метод коррекции, который является моментом для сравнения вашего маршрута с другим. раунды по 15, 30 или 60 секунд затем показывают, работает ли метод на часах, а матч двух игроков на одном iPhone превращает те же проблемы в игру с кем-то другим.

Дополнительно

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science