Com multiplicar nombres de dues xifres al cap

Per què els productes de dos dígits se senten difícils

Un producte d'un sol dígit, com ara 7 × 8, normalment es recupera de la memòria en lloc de calcular-se. Els productes de dos dígits gairebé mai no ho són, així que cal calcular, i calcular al cap significa mantenir resultats parcials mentre es produeix el següent. La revisió de DeStefano i LeFevre descriu la memòria de treball com el coll d'ampolla de l'aritmètica mental, i la multiplicació de diversos dígits la carrega molt. Cada mètode següent redueix la quantitat que tens alhora. Cap d'ells és el millor per a cada parella; l'habilitat és triar el que s'ajusti als números que tens davant.

Comenceu amb un número per un sol dígit

Abans de dos dígits per dos dígits, feu que els multiplicadors d'un dígit siguin automàtics. 47 × 6 és 40 × 6 més 7 × 6, per tant, 240 + 42 = 282. Treballant primer de les desenes, d'esquerra a dreta, us dóna la major part de la resposta d'hora, que també és la part que més importa si us interrompen. Aquest únic pas és el bloc de construcció de cada mètode que segueix.

Mètode 1: separar un número

El mètode general és dividir un factor en desenes i unitats i multiplicar cada part. Per a 34 × 27, divideix 27 en 20 i 7: 34 × 20 = 680 i 34 × 7 = 238. Aleshores 680 + 238 = 918. Només tens un total acumulat i un producte parcial nou, per això aquest mètode funciona per a qualsevol parell. separar el nombre que doni els productes parcials més fàcils; dividir les parts 34 en 30 i 4 també funcionaria, donant 810 + 108 = 918.

Estima abans de calcular

Abans de començar, arrodoneix els dos nombres: 34 × 27 s'aproxima a 30 × 30, de manera que la resposta hauria d'estar prop de 900. Això triga un segon i detecta els pitjors errors, com ara un resultat de 9.180 o 91,8 causat per un valor posicional lliscant. També dóna a la vostra atenció un objectiu, de manera que l'addició final sembla una confirmació més que un salt.

Mètode dos: rodó i correcte

Quan un factor s'aproxima a un nombre rodó, multipliqueu-lo pel nombre rodó i després corregiu. 29 × 34 és 30 × 34 menys un 34: 1.020 − 34 = 986. 48 × 15 és 50 × 15 menys 2 × 15: 750 − 30 = 720. La correcció sol ser una petita multiplicació, i el producte rodó és ràpid. El mètode estalvia més quan el factor es troba a un o dos d'un múltiple de deu.

Quan arrodonir és un moviment equivocat

Round and correct perd el seu avantatge quan la correcció en si és gran. 36 × 47 arrodonit a 36 × 50 necessita una correcció de 36 × 3 = 108, donant 1.800 − 108 = 1.692. Això funciona, però trencar en parts, 36 × 40 + 36 × 7 = 1.440 + 252 = 1.692, no és més lent i no implica cap resta. Per regla general, arrodoniu quan la distància al número rodó sigui d'un o dos i, en cas contrari, separeu-lo.

Mètode tres: la diferència de quadrats

Quan dos nombres es troben a la mateixa distància a cada costat d'un nombre rodó, el seu producte és el quadrat del nombre del mig menys el quadrat de la distància. Això prové de la identitat (a - b) × (a + b) = a² - b². 48 × 52 és 50² − 2² = 2.500 − 4 = 2.496. 37 × 43 és 40² − 3² = 1.600 − 9 = 1.591. 46 × 54 és 2.500 − 16 = 2.484. El mètode només necessita els quadrats dels nombres rodons, que són fàcils, i els quadrats de l'1 al 9, que ja coneixeu.

Quan la parella no és simètrica

Si els dos nombres no estan a la mateixa distància d'un mig rodó, la idea encara funciona amb una petita correcció. 47 × 52 és 47 × 53 menys 47, i 47 × 53 és 50² − 3² = 2.491, de manera que la resposta és 2.491 − 47 = 2.444. Que això sigui com trencar-se en parts depèn de la persona. Proveu tots dos amb el mateix problema i manteniu el que us sembla més lleuger.

Mètode quatre: números just per sota de 100

Per a dos nombres propers al 100, treballa amb fins a quin punt cada un està per sota de 100. Per a 96 × 97, les distàncies són 4 i 3. Resta una distància de l'altre nombre: 96 − 3 = 93, que dóna els dos primers dígits. Multiplica les distàncies: 4 × 3 = 12, la qual cosa dóna els dos últims dígits. La resposta és 9.312. El mateix patró funciona per sobre de 100: per a 103 × 107, sumeu 103 + 7 = 110 i multipliqueu 3 × 7 = 21, donant-li 11.021. Si el producte de les distàncies només té un dígit, escriu-lo amb un zero inicial: 98 × 97 dóna 95 i 06, per tant 9.506.

Per què funciona el mètode de gairebé 100?

És la mateixa àlgebra que dividir en parts, disposada per explotar el nombre rodó: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. La primera part compta els centenars i la segona part és el que queda. Entendre per què funciona és més important que memoritzar-lo. Un mètode que enteneu es pot adaptar, per exemple, a números propers al 50 o al voltant del 1.000, mentre que un truc memoritzat es trenca la primera vegada que canvien els números.

El mètode creuat

Un altre mètode general funciona columna per columna. Per a 43 × 21, les centenes són 4 × 2 = 8, les desenes són 4 × 1 + 3 × 2 = 10 i les unitats són 3 × 1 = 3. Combineu-les: 800 + 100 + 3 = 903. És l'algorisme escrit realitzat al vostre cap, i s'adapta com una rutina a les persones. La seva debilitat apareix quan el total mitjà és gran i arriba als centenars, perquè cal aguantar-lo mentre es combina, que és exactament la càrrega que eviten els altres mètodes.

Triar un mètode en dos segons

Mireu la parella abans de començar. A igual distància d'un nombre rodó: diferència de quadrats. Un número al costat d'un múltiple de deu: arrodonit i correcte. Tots dos prop de 100: el mètode de prop de 100. Qualsevol altra cosa: trencar el número més fàcil. Aquesta elecció és en si mateixa una habilitat, i es desenvolupa millor en problemes mixts en lloc de vint del mateix tipus. Rohrer i Taylor van trobar que remenar els tipus de problemes durant la pràctica va millorar el rendiment de les proves posteriors en comparació amb la pràctica d'un tipus a la vegada.

Comproveu la resposta a bon preu

Dues comprovacions triguen un segon cadascuna. L'últim dígit: 34 × 27 ha d'acabar en 8, perquè 4 × 7 = 28. La mida: l'estimació de 900 diu que 918 és plausible. Cap dels dos xecs demostra que la resposta és correcta, però junts capten la majoria de relliscades i són prou ràpids per utilitzar-los cada cop.

Primer la precisió, després la velocitat

La pressió del temps fa que la gent torni al mètode més lent i familiar. Treballeu sense temporitzador fins que l'elecció d'un mètode sigui automàtica i, a continuació, afegiu un rellotge. Quan trobeu un problema equivocat, torneu a fer el mateix problema correctament immediatament en lloc de continuar, de manera que l'última versió que assagiu sigui la correcta.

On encaixa Numvolt

Les sessions de multiplicació de Numvolt us donen problemes per practicar l'elecció del mètode. En el mode Zen no hi ha temporitzador, i una resposta incorrecta mostra el mètode darrere de la correcció, que és el moment de comparar la vostra ruta amb una altra. les rondes cronometrades de 15, 30 o 60 segons mostren si el mètode es manté sota un rellotge, i una partida de dos jugadors en un iPhone converteix els mateixos problemes en un joc amb una altra persona.

Més lectura

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science