如何在头脑中计算两位数的乘法

为什么两位数产品感觉很难

诸如 7 × 8 之类的个位数乘积通常是从内存中检索而不是计算出来。两位数乘积几乎从来都不是，所以你必须计算，而在头脑中计算意味着在生成下一个结果的同时保留部分结果。 DeStefano 和 LeFevre 的评论将工作记忆描述为心算的瓶颈，而多位数乘法对其造成了沉重负担。下面的每种方法都会减少您一次持有的数量。它们中没有一个是最适合每一对的；技巧是选择适合你面前数字的那个。

从一个数字乘以一位数字开始

在两位数乘两位数之前，将单位数乘数设置为自动。 47 × 6 等于 40 × 6 加 7 × 6，所以 240 + 42 = 282。从十开始，从左到右，可以尽早得到答案的大部分，这也是当你被打断时最重要的部分。这一步是后续每个方法的构建块。

方法一：分解一个数

一般的方法是将一个因数分解为十个和个位，然后将每一部分相乘。对于 34 × 27，将 27 分成 20 和 7：34 × 20 = 680 和 34 × 7 = 238。然后 680 + 238 = 918。您只持有一个运行总和和一个新的部分乘积，这就是为什么此方法适用于任何对。分解给出更容易的部分积的数字；将第 34 部分分解为 30 部分和 4 部分也可以，得到 810 + 108 = 918。

计算之前先估计一下

在开始之前，对两个数字进行舍入：34 × 27 接近 30 × 30，因此答案应该接近 900。这需要一秒钟的时间并捕获最严重的错误，例如由于位值滑动而导致的结果 9,180 或 91.8。它还给你的注意力一个目标，所以最后的添加感觉像是一个确认而不是一个飞跃。

方法二：圆整

当一个因数接近整数时，乘以该整数然后修正。 29 × 34 是 30 × 34 减一 34：1,020 − 34 = 986。48 × 15 是 50 × 15 减 2 × 15：750 − 30 = 720。校正通常是一个小乘法，并且舍入乘积很快。当因子距离十的倍数一到二时，该方法可以节省最多的钱。

当四舍五入是错误的举动时

当修正本身很大时，圆形和修正就失去了它的优势。 36 × 47 四舍五入为 36 × 50 需要修正 36 × 3 = 108，得到 1,800 − 108 = 1,692。这是可行的，但分解为 36 × 40 + 36 × 7 = 1,440 + 252 = 1,692 部分并不慢，并且不涉及减法。根据经验，当到舍入数的距离为一或二时，舍入，否则分开。

方法三：平方差

当两个数字位于一个整数两侧的距离相等时，它们的乘积是中间数字的平方减去距离的平方。这来自恒等式 (a − b) × (a + b) = a² − b²。 48 × 52 等于 50² − 2² = 2,500 − 4 = 2,496。 37 × 43 等于 40² − 3² = 1,600 − 9 = 1,591。 46 × 54 是 2,500 − 16 = 2,484。该方法只需要整数的平方，这很简单，以及 1 到 9 的平方，这是你已经知道的。

当该对不对称时

如果两个数字到圆形中心的距离不一样，这个想法仍然可以通过小修正来实现。 47 × 52 是 47 × 53 减 47，47 × 53 是 50² − 3² = 2,491，所以答案是 2,491 − 47 = 2,444。这是否比分解更好取决于人。尝试解决同一个问题，并保留感觉较轻的一个。

方法四：100以下的数字

对于两个接近 100 的数字，计算每个数字低于 100 的距离。对于 96 × 97，距离为 4 和 3。从另一个数字减去一个距离：96 − 3 = 93，得到前两位数字。将距离相乘：4 × 3 = 12，得出最后两位数字。答案是 9,312。同样的模式适用于 100 以上：对于 103 × 107，加上 103 + 7 = 110，再乘以 3 × 7 = 21，得到 11,021。如果距离的乘积只有一位数字，则将其写入前导零：98 × 97 给出 95 和 06，即 9,506。

为什么近 100 方法有效

它与分解为相同的代数，被安排为利用整数：(100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b。第一部分数了数百，第二部分是剩下的。理解它为什么起作用比记住它更重要。您理解的方法可以进行调整，例如接近 50 或接近 1,000 的数字，而记住的技巧在数字第一次变化时就会失效。

交叉法

另一种通用方法逐列工作。对于 43 × 21，百位是 4 × 2 = 8，十位是 4 × 1 + 3 × 2 = 10，个位是 3 × 1 = 3。将它们组合起来：800 + 100 + 3 = 903。这是在头脑中执行的书面算法，适合喜欢固定套路的人。当中间总数很大并达到数百个时，它的弱点就会出现，因为你必须在组合时握住它，而这正是其他方法避免的负载。

两秒内选择方法

在开始之前先看看这对。与整数的距离相等：平方差。十的倍数旁边的一个数字：四舍五入且正确。两者都接近 100：接近 100 方法。其他：分解更容易的数字。这种选择本身就是一种技能，它在混合问题上表现得最好，而不是在解决二十个同类问题上。罗勒和泰勒发现，与一次练习一种类型相比，在练习过程中调整问题类型可以提高以后的测试成绩。

便宜地检查答案

两次检查各需要一秒钟。最后一位数字：34 × 27 必须以 8 结尾，因为 4 × 7 = 28。 大小：900 的估计表明 918 是合理的。这两种检查都不能证明答案是正确的，但它们一起发现了大多数错误，而且它们的速度足够快，可以每次使用。

首先是精度，然后是速度

时间压力迫使人们回到最慢、最熟悉的方法。在不使用计时器的情况下工作，直到自动选择方法，然后添加时钟。当你做错一个问题时，立即正确地重做同一个问题，而不是继续前进，这样你排练的最后一个版本就是正确的版本。

Numvolt 适合的地方

Numvolt 的乘法课程为您提供了练习方法选择的问题。在Zen模式下，没有计时器，错误的答案会显示更正背后的方法，这是将您的路线与另一条路线进行比较的时刻。 15、30 或 60 秒的计时轮次显示该方法是否在时钟下成立，而 iPhone 上的两人比赛将相同的问题变成与其他人的游戏。

延伸阅读

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science