如何在头脑中划分数字，并举例说明

除法是逆乘法

许多人通过乘法来解决简单的除法：56 ÷ 7 是乘以 7 得到 56 的数字。坎贝尔对大学生的研究发现，匹配除法和乘法问题的反应时间高度相关，他的结果表明乘法至少经常用于检查除法。实际结果很简单：可靠的乘法事实是心智除法的基础，其中的任何差距都会出现两次。

问缺失因素问题

对于 72 ÷ 8，问 8 乘以 72。对于 144 ÷ 12，问 12 乘以 144。当事实已知时，以这种方式进行除法将其变成回忆，而当事实未知时，则变成围绕已知事实的简短搜索：如果你知道 8 × 10 = 80，那么 72 减去 1 8，所以答案是 9。

划分前化简

将两个数字除以相同的因子不会改变答案，而且通常会使问题变得微不足道。对于 144 ÷ 36，将两者除以 9，得到 16 ÷ 4 = 4。对于 630 ÷ 15，将两者加倍，得到 1,260 ÷ 30，即 42。加倍与减半一样合法；目标是一个易于使用的除数。

重复减半 2、4、8 和 16

除以 4 减半两次，除以 8 减半 3 次，除以 16 减半四次。 184 ÷ 8：92、46、23。1,000 ÷ 16：500、250、125、62.5。每一步只保存一个数字，这就是为什么重复减半对工作记忆的影响很小，DeStefano 和 LeFevre 认为资源是心算的瓶颈，即使结果不是整数。

除以 5、25 和 125

这些除数比乘法更容易。除以 5 是乘以 2 再除以 10：350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70。除以 25 是乘以 4 再除以 100：475 ÷ 25 = 1,900 ÷ 100 = 19。除以 125 是乘以 8 再除以 1,000： 3,000 ÷ 125 = 24,000 ÷ 1,000 = 24。该模式之所以有效，是因为 5 × 2 = 10、25 × 4 = 100 和 125 × 8 = 1,000。

将大数分成块

对于 924 ÷ 7，一次取出一个简单的 7 的倍数。 7 × 100 = 700 片叶子 224。 7 × 30 = 210 片叶子 14。 7 × 2 = 14 没有叶子。将碎片相加：100 + 30 + 2 = 132。分成块是长除法的心理版本，但是您选择碎片是为了方便而不是一次一位数字，所以您可以在更容易的时候取出 50 或 200 的除数。

首先估计商

在进行精确划分之前，先解决一个你能做的问题。 4,870 ÷ 62 大约等于 4,800 ÷ 60，即 80。确切的答案是 78.5 到小数点后一位。估计值会告诉您答案的大小并捕获漏掉的位值。它还可以告诉您错误的方向：这里除数比被除数按比例向下舍入，因此真正的答案应该略低于 80，确实如此。

快速测试整除性

一些规则可以告诉你一个部门是否会完整地结果。如果一个数以偶数结尾，则可被 2 整除；如果以 0 或 5 结尾，则可被 5 整除；如果各个数字之和能被 3 整除，则可被 3 整除；如果各个数字之和能被 9 整除，则可被 9 整除；如果最后两位数字是 4 的倍数，则可被 4 整除。 4,017 的数字和为 12，因此可被 3 整除：4,017 ÷ 3 = 1,339。这些规则也是您如何找到简化的共同因素的方法。

剩余部分以及如何处理它们

许多部门并不是完整的。 100 ÷ 7 是 14，余数为 2，因为 7 × 14 = 98。您是否需要余数、小数或四舍五入的答案取决于问题：100 把椅子按 7 排排列，形成 14 排，剩下 2 张椅子，而 7 个人共享 100 张椅子，每张大约为 14.29。

将余数化为小数

知道一些分数作为小数可以很容易求余数。 45 ÷ 8 是 5 余数 5，5/8 是 0.625，所以 45 ÷ 8 = 5.625。值得注意的是：二分之一为 0.5，四分之一为 0.25 和 0.75，八分之一的增量为 0.125，五分之一的增量为 0.2，七分之一约为 0.143。对于其他除数，继续除法，余数加零：2 ÷ 7 变为 20 ÷ 7 = 2 余数 6，因此第一个小数为 2，依此类推。

除以第一轮附近的数字

除以 49 或 51 接近于除以 50，并且四舍五入的答案通常就足够了。 1,000 ÷ 49 略大于 1,000 ÷ 50 = 20；准确答案约为20.4。对除数进行舍入时，请注意方向：除数越小，结果越大，除数越大，结果越小。

除以分数

将除法写成分数并化简通常会揭示答案。 150 ÷ 40 为 150/40，简化为 15/4，15/4 为 3.75。一旦两个数字都除以 5（即 6），210 ÷ 35 就变成 42/7。这与除法之前化简的做法相同，但将其写成分数可以更容易看出公因数。

通过乘反来检查

每个除法都有一个免费检查：将答案乘以除数。如果 924 ÷ 7 = 132，那么 132 × 7 应该得到 924，结果是：700 + 210 + 14 = 924。检查需要几秒钟，而且它还演练了除法所依赖的乘法。

练习除法和乘法

因为这两种操作有很多共同点，所以一起练习是有意义的。将除法问题混合到乘法练习中，而不是把它们留到最后，当除法事实很慢时，练习匹配的乘法。罗勒和泰勒发现，与一次练习一种类型相比，在练习中混合问题类型有助于提高以后的表现。

Numvolt 适合的地方

Numvolt 包括除法、加法、减法和乘法，在 Zen 模式下没有计时器，每个错误答案都会显示纠正背后的方法，并以 15、30 或 60 秒的计时轮次进行。对于余数和小数，日常账单、单价和分摊成本是很好的额外练习。

延伸阅读

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science