Wie man Zahlen im Kopf dividiert, mit praktischen Beispielen

Division ist Multiplikation rückwärts

Viele Menschen lösen eine einfache Division, indem sie an eine Multiplikation denken: 56 ÷ 7 ist die Zahl, die multipliziert mit 7 56 ergibt. Campbells Studie mit Universitätsstudenten ergab, dass die Antwortzeiten für übereinstimmende Divisions- und Multiplikationsprobleme stark korrelierten, und seine Ergebnisse legten nahe, dass Multiplikation oft verwendet wird, zumindest um die Division zu überprüfen. Die praktische Konsequenz ist einfach: Verlässliche Multiplikationsfakten sind die Grundlage der mentalen Teilung, und jede Lücke darin taucht zweimal auf.

Stellen Sie die Frage zum fehlenden Faktor

Fragen Sie für 72 ÷ 8, was multipliziert mit 8 72 ergibt. Für 144 ÷ 12 fragen Sie, wie hoch multipliziert mit 12 144 ergibt. Wenn Sie die Phrasenteilung auf diese Weise anwenden, wird sie zu einer Erinnerung, wenn die Tatsache bekannt ist, und zu einer kurzen Suche um eine bekannte Tatsache, wenn sie nicht bekannt ist: Wenn Sie wissen, dass 8 × 10 = 80, dann ist 72 eine 8 weniger, also lautet die Antwort 9.

Vereinfachen Sie vor dem Teilen

Die Division beider Zahlen durch denselben Faktor ändert nichts an der Antwort und macht das Problem oft trivial. Für 144 : 36 dividieren Sie beide durch 9, um 16 : 4 = 4 zu erhalten. Für 630 : 15 verdoppeln Sie beide, um 1.260 : 30 zu erhalten, also 42. Eine Verdoppelung ist genauso legitim wie eine Halbierung; Das Ziel ist ein Divisor, mit dem man leicht arbeiten kann.

wiederholte Halbierung für 2, 4, 8 und 16

Durch eine Division durch 4 halbiert man zweimal, durch 8 halbiert man dreimal und durch 16 halbiert man viermal. 184 ÷ 8: 92, 46, 23. 1.000 ÷ 16: 500, 250, 125, 62,5. Jeder Schritt enthält nur eine Zahl, weshalb wiederholtes Halbieren das Arbeitsgedächtnis schont, die Ressource, die DeStefano und LeFevre als den Flaschenhals des Kopfrechnens bezeichnen, selbst wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist.

Division durch 5, 25 und 125

Diese Teiler sind einfacher als Multiplikationen. Durch 5 dividieren heißt mit 2 multiplizieren und durch 10 dividieren: 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. Durch 25 dividieren heißt mit 4 multiplizieren und durch 100 dividieren: 475 ÷ 25 = 1.900 ÷ 100 = 19. Durch 125 dividieren heißt mit 8 multiplizieren und durch dividieren 1.000: 3.000 ÷ 125 = 24.000 ÷ 1.000 = 24. Das Muster funktioniert, weil 5 × 2 = 10, 25 × 4 = 100 und 125 × 8 = 1.000.

Große Zahlen in Stücke aufteilen

Für 924 ÷ 7 nehmen Sie nacheinander einfache Vielfache von 7 heraus. 7 × 100 = 700 hinterlässt 224. 7 × 30 = 210 hinterlässt 14. 7 × 2 = 14 hinterlässt nichts. Addieren Sie die Stücke: 100 + 30 + 2 = 132. Das Teilen in Stücke ist die gedankliche Version der langen Division, aber Sie entscheiden sich aus Bequemlichkeitsgründen für Stücke und nicht für jeweils eine Ziffer, sodass Sie 50 oder 200 des Divisors herausnehmen können, wann immer das einfacher ist.

Schätzen Sie zunächst den Quotienten

Runden Sie vor einer genauen Division auf ein Problem, das Sie ausführen können. 4.870 ÷ 62 ist ungefähr 4.800 ÷ 60, also 80. Die genaue Antwort ist 78,5 mit einer Dezimalstelle. Die Schätzung verrät Ihnen die Größe der Antwort und erfasst einen verschobenen Stellenwert. Es kann Ihnen auch die Richtung des Fehlers sagen: Hier wurde der Divisor proportional stärker abgerundet als der Dividend, sodass die wahre Antwort etwas unter 80 liegen sollte, und das ist sie auch.

Teilbarkeit schnell testen

Ein paar Regeln geben Aufschluss darüber, ob eine Division als Ganzes über die Bühne geht. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie mit einer geraden Ziffer endet, durch 5, wenn sie mit 0 oder 5 endet, durch 3, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist, durch 9, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist, und durch 4, wenn ihre letzten beiden Ziffern ein Vielfaches von 4 bilden. 4.017 hat eine Ziffernsumme von 12, ist also durch 3 teilbar: 4.017 ÷ 3 = 1.339. Mit diesen Regeln finden Sie auch einen gemeinsamen Faktor für die Vereinfachung.

Reste und was man damit macht

Viele Abteilungen ergeben kein Ganzes. 100 ÷ 7 ist 14 mit einem Rest von 2, denn 7 × 14 = 98. Ob Sie den Rest, eine Dezimalzahl oder eine gerundete Antwort benötigen, hängt von der Frage ab: 100 in 7er-Reihen angeordnete Stühle ergeben 14 volle Reihen mit 2 verbleibenden Stühlen, während eine auf 7 Personen aufgeteilte Menge von 100 jeweils etwa 14,29 ergibt.

Reste in Dezimalzahlen umwandeln

Wenn Sie einige Brüche als Dezimalzahlen kennen, ist es einfacher, Reste zu berechnen. 45 ÷ 8 ist 5 mit einem Rest von 5 und 5/8 ist 0,625, also 45 ÷ 8 = 5,625. Wissenswertes: Halbe betragen 0,5, Viertel 0,25 und 0,75, Achtel steigen in Schritten von 0,125, Quinten in Schritten von 0,2 und ein Siebtel entspricht etwa 0,143. Bei anderen Teilern setzen Sie die Division fort, indem Sie zum Rest eine Null hinzufügen: 2 ÷ 7 wird zu 20 ÷ 7 = 2 Rest 6, also ist die erste Dezimalstelle 2 und so weiter.

Division durch Zahlen in der Nähe einer Runde

Eine Division durch 49 oder 51 kommt einer Division durch 50 nahe, und die gerundete Antwort reicht oft aus. 1.000 ÷ 49 ist etwas mehr als 1.000 ÷ 50 = 20; die genaue Antwort ist etwa 20,4. Achten Sie beim Runden eines Divisors auf die Richtung: Ein kleinerer Divisor ergibt ein größeres Ergebnis, ein größerer Divisor ein kleineres.

Division als Bruch

Wenn man eine Division als Bruch schreibt und vereinfacht, findet man oft die Lösung. 150 ÷ 40 ist 150/40, was vereinfacht 15/4 ergibt, und 15/4 ist 3,75. 210 ÷ 35 wird zu 42/7, sobald beide Zahlen durch 5 dividiert werden, also 6. Dies ist der gleiche Schritt wie das Vereinfachen vor dem Dividieren, aber wenn man es als Bruch schreibt, sind die gemeinsamen Faktoren leichter zu erkennen.

Überprüfen Sie dies durch Rückmultiplikation

Bei jeder Division gibt es eine kostenlose Prüfung: Multiplizieren Sie das Ergebnis mit dem Divisor. Wenn 924 ÷ 7 = 132, dann sollte 132 × 7 924 ergeben, und das ergibt: 700 + 210 + 14 = 924. Die Überprüfung dauert Sekunden und es wird auch die Multiplikation geprobt, von der die Division abhängt.

Üben Sie die Division neben der Multiplikation

Da die beiden Operationen so viel gemeinsam haben, ist es sinnvoll, sie gemeinsam durchzuführen. Mischen Sie Divisionsaufgaben in Multiplikationsübungen, anstatt sie bis zum Ende aufzuschieben. Wenn eine Divisionsaufgabe langsam ist, üben Sie die passende Multiplikation. Rohrer und Taylor fanden heraus, dass das Mischen von Problemtypen während des Übens die spätere Leistung im Vergleich zum Üben nur eines Typs nach dem anderen steigerte.

Wo Numvolt passt

Numvolt beinhaltet Division neben Addition, Subtraktion und Multiplikation, im Zen-Modus ohne Timer, bei dem jede falsche Antwort die Methode hinter der Korrektur anzeigt, und in zeitgesteuerten Runden von 15, 30 oder 60 Sekunden. Für Reste und Dezimalstellen sind Tagesrechnungen, Einheitspreise und geteilte Kosten eine gute zusätzliche Übung.

Weiterlesen

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science