Πώς να διαιρέσετε αριθμούς στο κεφάλι σας, με δουλεμένα παραδείγματα

Η διαίρεση είναι πολλαπλασιασμός προς τα πίσω

Πολλοί άνθρωποι λύνουν απλή διαίρεση σκεπτόμενοι έναν πολλαπλασιασμό: 56 ÷ 7 είναι ο αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 7 δίνει το 56. Η μελέτη του Campbell με φοιτητές πανεπιστημίου διαπίστωσε ότι οι χρόνοι απόκρισης για αντιστοίχιση προβλημάτων διαίρεσης και πολλαπλασιασμού είχαν μεγάλη συσχέτιση και τα αποτελέσματά του πρότειναν ότι ο πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται συχνά τουλάχιστον για τον έλεγχο της διαίρεσης. Το πρακτικό αποτέλεσμα είναι απλό: τα αξιόπιστα γεγονότα πολλαπλασιασμού είναι το θεμέλιο της νοητικής διαίρεσης και οποιοδήποτε κενό σε αυτά εμφανίζεται δύο φορές.

Κάντε την ερώτηση του παράγοντα που λείπει

Για 72 ÷ 8, ρωτήστε ποιες φορές το 8 κάνει 72. Για 144 ÷ 12, ρωτήστε τι φορές το 12 κάνει 144. Η διαίρεση με φράσεις με αυτόν τον τρόπο το μετατρέπει σε ανάκληση όταν το γεγονός είναι γνωστό και σε μια σύντομη αναζήτηση γύρω από ένα γνωστό γεγονός όταν δεν είναι: αν γνωρίζετε ότι 8 × 10 = 2 είναι το ένα είναι 80, τότε η απάντηση είναι 8 .

Απλοποιήστε πριν τη διαίρεση

Η διαίρεση και των δύο αριθμών με τον ίδιο παράγοντα δεν αλλάζει την απάντηση και συχνά καθιστά το πρόβλημα ασήμαντο. Για 144 ÷ 36, διαιρέστε και τα δύο με το 9 για να πάρετε 16 ÷ 4 = 4. Για 630 ÷ 15, διπλασιάστε και τα δύο για να λάβετε 1.260 ÷ 30, που είναι 42. Ο διπλασιασμός είναι τόσο θεμιτός όσο και το μισό. ο στόχος είναι ένας διαιρέτης με τον οποίο είναι εύκολο να δουλέψεις.

επαναλαμβανόμενες μισές για 2, 4, 8 και 16

Η διαίρεση με το 4 ισοδυναμεί με το μισό δύο φορές, με το 8 το μισό τρεις φορές και το με το 16 το μισό τέσσερις φορές. 184 ÷ 8: 92, 46, 23. 1.000 ÷ 16: 500, 250, 125, 62,5. Κάθε βήμα περιέχει μόνο έναν αριθμό, γι' αυτό και η επαναλαμβανόμενη κατά το ήμισυ είναι ήπια στη μνήμη εργασίας, ο πόρος DeStefano και LeFevre προσδιορίζονται ως το σημείο συμφόρησης της νοητικής αριθμητικής, ακόμη και όταν το αποτέλεσμα δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Διαιρώντας με το 5, το 25 και το 125

Αυτοί οι διαιρέτες είναι ευκολότεροι ως πολλαπλασιασμοί. Η διαίρεση με το 5 πολλαπλασιάζεται με το 2 και η διαίρεση με το 10: 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. Η διαίρεση με το 25 πολλαπλασιάζεται με το 4 και η διαίρεση με το 100: 475 ÷ 25 = 1.900 ÷ 5 με πολλαπλασιασμό με 190. 8 και διαίρεση με 1.000: 3.000 ÷ 125 = 24.000 ÷ 1.000 = 24. Το μοτίβο λειτουργεί επειδή 5 × 2 = 10, 25 × 4 = 100 και 125 × 8 = 1.000.

Διαίρεση μεγάλων αριθμών σε κομμάτια

Για 924 ÷ 7, βγάλτε εύκολα πολλαπλάσια του 7 ένα κάθε φορά. 7 × 100 = 700 φύλλα 224. 7 × 30 = 210 φύλλα 14. 7 × 2 = 14 δεν αφήνει τίποτα. Προσθέστε τα κομμάτια: 100 + 30 + 2 = 132. Η διαίρεση σε κομμάτια είναι η νοητική εκδοχή της μακράς διαίρεσης, αλλά με τα κομμάτια επιλέγετε για ευκολία και όχι ένα ψηφίο τη φορά, ώστε να μπορείτε να βγάλετε 50 ή 200 του διαιρέτη όποτε είναι πιο εύκολο.

Υπολογίστε πρώτα το πηλίκο

Πριν από μια ακριβή διαίρεση, στρογγυλοποιήστε σε ένα πρόβλημα που μπορείτε να κάνετε. 4.870 ÷ 62 είναι περίπου 4.800 ÷ 60, δηλαδή 80. Η ακριβής απάντηση είναι 78,5 με ένα δεκαδικό. Η εκτίμηση σας λέει το μέγεθος της απάντησης και πιάνει μια ολισθηρή θέση. Μπορεί επίσης να σας πει την κατεύθυνση του σφάλματος: εδώ ο διαιρέτης στρογγυλοποιήθηκε προς τα κάτω αναλογικά περισσότερο από το μέρισμα, επομένως η αληθινή απάντηση θα πρέπει να είναι λίγο κάτω από το 80, και είναι.

Δοκιμάστε γρήγορα τη διαιρετότητα

Μερικοί κανόνες σας λένε αν μια διαίρεση θα βγει ολόκληρη. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν τελειώνει σε άρτιο ψηφίο, με το 5 αν τελειώνει σε 0 ή το 5, με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3, με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9 και με το 4 αν τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4. 3: 4.017 ÷ 3 = 1.339. Αυτοί οι κανόνες είναι επίσης ο τρόπος με τον οποίο βρίσκετε έναν κοινό παράγοντα για απλοποίηση.

Υπολείμματα, και τι να κάνετε με αυτά

Πολλές διαιρέσεις δεν βγαίνουν ολόκληρες. Το 100 ÷ 7 είναι 14 με υπόλοιπο 2, γιατί 7 × 14 = 98. Είτε χρειάζεστε το υπόλοιπο, μια δεκαδική ή στρογγυλεμένη απάντηση εξαρτάται από την ερώτηση: 100 καρέκλες διατεταγμένες σε σειρές των 7 κάνουν 14 πλήρεις σειρές με 2 καρέκλες που έχουν απομείνει, ενώ μια ποσότητα μεταξύ 174 ατόμων δίνει περίπου 100.

Μετατροπή υπολοίπων σε δεκαδικά

Η γνώση μερικών κλασμάτων ως δεκαδικών κάνει τα υπόλοιπα εύκολα. 45 ÷ 8 είναι 5 με υπόλοιπο 5, και 5/8 είναι 0,625, άρα 45 ÷ 8 = 5,625. Αξίζει να γνωρίζετε: τα μισά είναι 0,5, τα τέταρτα 0,25 και 0,75, τα όγδοα ανεβαίνουν σε βήματα 0,125, τα πέμπτα σε βήματα 0,2 και το ένα έβδομο είναι περίπου 0,143. Για άλλους διαιρέτες, συνεχίστε τη διαίρεση προσθέτοντας ένα μηδέν στο υπόλοιπο: 2 ÷ 7 γίνεται 20 ÷ 7 = 2 υπόλοιπο 6, άρα το πρώτο δεκαδικό είναι 2 και ούτω καθεξής.

Διαίρεση με αριθμούς κοντά σε ένα στρογγυλό

Η διαίρεση με το 49 ή το 51 είναι κοντά στη διαίρεση με το 50 και η στρογγυλεμένη απάντηση είναι συχνά αρκετή. 1.000 ÷ 49 είναι λίγο περισσότερο από 1.000 ÷ 50 = 20; η ακριβής απάντηση είναι περίπου 20,4. Όταν στρογγυλεύετε έναν διαιρέτη, σημειώστε την κατεύθυνση: ένας μικρότερος διαιρέτης δίνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα και ένας μεγαλύτερος διαιρέτης ένα μικρότερο.

Διαίρεση ως κλάσμα

Η σύνταξη μιας διαίρεσης ως κλάσμα και η απλοποίηση συχνά αποκαλύπτει την απάντηση. Το 150 ÷ ​​40 είναι 150/40, το οποίο απλοποιεί σε 15/4 και το 15/4 είναι 3,75. Το 210 ÷ 35 γίνεται 42/7 όταν και οι δύο αριθμοί διαιρεθούν με το 5, το οποίο είναι 6. Αυτή είναι η ίδια κίνηση με την απλοποίηση πριν από τη διαίρεση, αλλά γράφοντάς το ως κλάσμα διευκολύνει την ορατότητα των κοινών παραγόντων.

Ελέγξτε πολλαπλασιάζοντας πίσω

Κάθε διαίρεση συνοδεύεται από έναν δωρεάν έλεγχο: πολλαπλασιάστε την απάντηση με τον διαιρέτη. Αν 924 ÷ 7 = 132, τότε το 132 × 7 θα πρέπει να δώσει 924, και δίνει: 700 + 210 + 14 = 924. Ο έλεγχος διαρκεί δευτερόλεπτα και επαναλαμβάνει επίσης τον πολλαπλασιασμό από τον οποίο εξαρτάται η διαίρεση.

Εξασκηθείτε στη διαίρεση παράλληλα με τον πολλαπλασιασμό

Επειδή οι δύο επεμβάσεις μοιράζονται τόσα πολλά, η εξάσκησή τους από κοινού έχει νόημα. Αναμείξτε προβλήματα διαίρεσης σε εξάσκηση πολλαπλασιασμού αντί να τα αφήσετε για το τέλος και όταν ένα γεγονός διαίρεσης είναι αργό, εξασκηθείτε στον πολλαπλασιασμό που ταιριάζει. Οι Rohrer και Taylor διαπίστωσαν ότι η ανάμειξη τύπων προβλημάτων κατά τη διάρκεια της εξάσκησης βοήθησε στη μεταγενέστερη απόδοση σε σύγκριση με την εξάσκηση ενός τύπου κάθε φορά.

Όπου ταιριάζει το Numvolt

Το Numvolt περιλαμβάνει διαίρεση παράλληλα με πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό, στη λειτουργία Zen χωρίς χρονόμετρο, όπου κάθε λάθος απάντηση δείχνει τη μέθοδο πίσω από τη διόρθωση και σε χρονισμένους γύρους των 15, 30 ή 60 δευτερολέπτων. Για τα υπόλοιπα και τα δεκαδικά ψηφία, οι καθημερινοί λογαριασμοί, οι τιμές μονάδας και το κοινό κόστος αποτελούν καλή επιπλέον πρακτική.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science