Διανοητικές μαθηματικές τεχνικές που αξίζει να μάθετε και πώς να τις εξασκήσετε

Η αριθμητική είναι ικανότητα, όχι ταλέντο

Οι άνθρωποι που υπολογίζουν γρήγορα δεν κάνουν σχεδόν ποτέ αυτό που κάνετε εσείς, παρά μόνο πιο γρήγορα. Κάνουν κάτι διαφορετικό: εργάζονται προς μια κατεύθυνση που ταιριάζει στο κεφάλι και όχι στη σελίδα, στρογγυλοποιούν σε έναν βολικό αριθμό και διορθώνουν στη συνέχεια και αναγνωρίζουν σχήματα που έχουν συναντήσει στο παρελθόν. Τίποτα από αυτά δεν είναι έμφυτο. Είναι ένα μικρό σύνολο τεχνικών συν αρκετή πρακτική που η επιλογή μεταξύ τους παύει να αποτελεί απόφαση. Οι παρακάτω τεχνικές είναι αυτές που αποδίδουν πρώτα τη μάθηση.

Εργαστείτε από αριστερά προς τα δεξιά

Στο χαρτί προσθέτεις και πολλαπλασιάζεις από τα δεξιά, γιατί αυτό απαιτεί η μεταφορά. Στο μυαλό σας αυτό είναι λάθος, επειδή τα ψηφία που χρειάζεστε πρώτα για μια εκτίμηση είναι αυτά στα αριστερά και επειδή είναι πιο δύσκολο να κρατήσετε έναν μισοτελειωμένο αριθμό από τα δεξιά. Για να προσθέσετε 347 και 285, πάρτε 300 και 200 ​​για να πάρετε 500, μετά 40 και 80 για να πάρετε 620, μετά 7 και 5 για να πάρετε 632. Έχετε πάντα μια αξιοποιήσιμη προσέγγιση και το φορτίο παραμένει μικρό.

Αντιστάθμιση σε έναν στρογγυλό αριθμό

Στρογγυλοποιήστε σε κάτι εύκολο, μετά διορθώστε. Για το 68 συν 27, κάντε το 70 συν 27 και αφαιρέστε το 2. Για το 495 συν 380, κάντε το 500 συν 380 και αφαιρέστε το 5. Για 8 επί 49, κάντε 8 επί 50 και αφαιρέστε το 8. Η διόρθωση είναι σχεδόν πάντα απλούστερη από το αρχικό πρόβλημα, και αυτή η απλή συνήθεια αφαιρεί το μεγαλύτερο μέρος του αριθμού από το πολύ δύσκολο.

Διπλό και μισό

Ο πολλαπλασιασμός είναι αμετάβλητος αν διπλασιάσετε τον έναν παράγοντα και μειώσετε στο μισό τον άλλο. Για 16 επί 25, διπλασιάστε στο μισό και διπλασιάστε για να λάβετε 8 επί 50 και μετά πάλι για να πάρετε 4 επί 100, που είναι 400. Αυτό λειτουργεί ιδιαίτερα καλά όταν ο ένας αριθμός είναι άρτιος και ο άλλος είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό και μετατρέπει πολλούς διψήφιους πολλαπλασιασμούς σε κάτι που μπορείτε να κάνετε χωρίς να γράψετε τίποτα.

Φορές πέντε, φορές πενήντα

Ο πολλαπλασιασμός με το 5 είναι διπλασιασμός και στη συνέχεια πολλαπλασιασμός με το 10. Για 84 επί 5, μισοπλασιάστε για να πάρετε το 42, στη συνέχεια προσθέστε ένα μηδέν για το 420. Ο πολλαπλασιασμός με το 50 είναι το ίδιο με δύο μηδενικά. Αυτή είναι ταχύτερη και λιγότερο επιρρεπής σε σφάλματα από την τυπική μέθοδο και είναι η συντόμευση που υιοθετούν μόνιμα οι περισσότεροι άνθρωποι μόλις τη δοκιμάσουν.

Φορές εννιά και φορές έντεκα

Για να πολλαπλασιάσετε με 9, πολλαπλασιάστε με 10 και αφαιρέστε τον αρχικό αριθμό: 9 επί το 47 είναι 470 μείον το 47, που είναι 423. Για να πολλαπλασιάσετε έναν διψήφιο αριθμό με το 11, προσθέστε τα ψηφία και τοποθετήστε το άθροισμα μεταξύ τους: 11 επί το 43 είναι 4, μετά το 4 συν το 3, μετά το άθροισμα 3, δίνοντας πρώτα το άθροισμα 4. ψηφίο: 11 επί το 68 δίνει 6, μετά 14, μετά 8, άρα 748.

Φορές είκοσι πέντε

Ο πολλαπλασιασμός με το 25 είναι πολλαπλασιασμός με το 100 και η διαίρεση με το 4. Για 36 επί 25, πάρτε το 3600 και διαιρέστε με το 4 για να πάρετε το 900. Η διαίρεση με το 4 είναι δύο μισά, οπότε τίποτα εδώ δεν χρειάζεται μεγάλη διαίρεση. Η ίδια ιδέα καλύπτει το 75, που είναι τα τρία τέταρτα του 100, και το 125, που είναι ένα όγδοο του 1000.

Πλατείες και πλησίον πλατείες

Τα τετράγωνα που τελειώνουν σε 5 έχουν έναν κανόνα: πάρτε τα προπορευόμενα ψηφία, πολλαπλασιάστε με ένα περισσότερο από αυτά και προσθέστε το 25. Για το 35 στο τετράγωνο, το 3 επί το 4 είναι 12, άρα η απάντηση είναι 1225. Για αριθμούς κοντά σε ένα τετράγωνο που γνωρίζετε, χρησιμοποιήστε τη διαφορά δύο τετραγώνων: 49 επί 51 είναι 50 στο τετράγωνο μείον το 2 τετράγωνα περίπου 1, πληρώνοντας περίπου 2 προς 1 τετράγωνα. για τον εαυτό του επανειλημμένα.

Πρώτα υπολογίστε, δεύτερον υπολογίστε

Πριν από οποιονδήποτε υπολογισμό αξίζει να κάνετε, δημιουργήστε μια πρόχειρη απάντηση στρογγυλοποιώντας σκληρά. Κοστίζει ένα δευτερόλεπτο και πιάνει τα λάθη που έχουν σημασία, τα οποία δεν είναι μικρά ολισθήματα, αλλά απαντούν λάθος κατά δέκα φορές. Αυτή η συνήθεια είναι πιο πολύτιμη στην καθημερινή ζωή από οποιοδήποτε μεμονωμένο κόλπο, επειδή η πιο πραγματική αριθμητική υπάρχει για να υποστηρίξει μια απόφαση και μια απόφαση συνήθως χρειάζεται τη σωστή τάξη μεγέθους περισσότερο από το τελευταίο ψηφίο.

Αφαιρέστε αθροίζοντας

Η αφαίρεση είναι συχνά πιο εύκολη κίνηση προς τα εμπρός. Για να πάρετε το 168 από το 400, μετρήστε προς τα πάνω: το 168 έως το 200 είναι 32 και το 200 έως το 400 είναι το 200, οπότε η απάντηση είναι 232. Έτσι δίνεται η αλλαγή σε ένα κατάστημα και αποφεύγεται ο πλήρης δανεισμός, από όπου προέρχονται τα περισσότερα πνευματικά λάθη αφαίρεσης. Διατηρεί επίσης μια τρέχουσα μερική απάντηση, επομένως μια διακοπή δεν σας κοστίζει ολόκληρο τον υπολογισμό.

Χωρίστε τους αριθμούς, όχι μειώστε

Οποιοσδήποτε άβολος πολλαπλασιασμός μπορεί να χωριστεί σε κομμάτια που ήδη γνωρίζετε. Για 23 φορές το 7, κάντε 20 φορές το 7 για να πάρετε το 140, μετά 3 φορές το 7 για να πάρετε το 21, μετά προσθέστε για 161. Αυτή είναι η διανεμητική ιδιότητα και είναι η μοναδική πιο επαναχρησιμοποιήσιμη ιδέα στη νοητική αριθμητική, επειδή μετατρέπει οτιδήποτε άγνωστο σε ένα άθροισμα οικείων πραγμάτων. Τα περισσότερα από τα προαναφερθέντα κόλπα είναι ειδικές περιπτώσεις.

Ελέγξτε με το τελευταίο ψηφίο

Μια γρήγορη επαλήθευση δεν κοστίζει σχεδόν τίποτα: το τελευταίο ψηφίο ενός προϊόντος εξαρτάται μόνο από τα τελευταία ψηφία των παραγόντων. Εάν το 23 επί το 7 σας έδινε 160, το τελευταίο ψηφίο θα πρέπει να είναι 1, αφού 3 φορές το 7 τελειώνει σε 1, ώστε να γνωρίζετε αμέσως ότι κάτι γλίστρησε. Σε συνδυασμό με μια εκτίμηση τάξης μεγέθους, αυτό συλλαμβάνει τη μεγάλη πλειοψηφία των σφαλμάτων χωρίς να επαναλάβει τον υπολογισμό.

Μάθετε τα κομμάτια που ξεπληρώνουν τον εαυτό τους

Ένα μικρό απόθεμα απομνημονευμένων γεγονότων αφαιρεί πολύ περισσότερη δουλειά από οποιαδήποτε τεχνική. Οι πίνακες χρόνων σε δώδεκα, τα τετράγωνα στο είκοσι πέντε, οι διπλασιασμοί έως το χίλια και το κοινό κλάσμα και τα ποσοστά ισοδύναμα. Αυτά δεν είναι λαμπερά και είναι αυτά που ξεχωρίζουν κάποιον που υπολογίζει άνετα από κάποιον που ανασκευάζει τα πάντα από την αρχή κάθε φορά. Μάθετε τα σε σύντομες συνεδρίες και όχι σε μία συνεδρίαση.

Μοιράζουμε σε κομμάτια

Η διαίρεση είναι ευκολότερη όταν αφαιρείτε βολικά πολλαπλάσια αντί να ακολουθείτε τον γραπτό αλγόριθμο. Για να διαιρέσετε το 462 με το 14, σημειώστε ότι το 14 επί το 30 είναι 420, αφήνοντας το 42 και το 14 επί το 3 είναι 42, οπότε η απάντηση είναι 33. Επιλέγετε κομμάτια που ήδη γνωρίζετε αντί να παράγετε ψηφία ένα-ένα, που ταιριάζει πολύ καλύτερα στον τρόπο λειτουργίας της κεφαλής.

Κλάσματα και ποσοστά

Το δέκα τοις εκατό είναι μια δεκαδική μετατόπιση. πέντε τοις εκατό είναι το μισό από αυτό. το ένα τοις εκατό είναι δύο βάρδιες. Οι περισσότερες ποσοστιαίες ερωτήσεις γίνονται εύκολες δημιουργώντας τις από αυτές τις τρεις. Το δεκαπέντε τοις εκατό του 240 είναι 24 συν 12, που είναι 36. Τα ποσοστά είναι επίσης αναστρέψιμα: το 8 τοις εκατό του 50 είναι το ίδιο με το 50 τοις εκατό του 8, που είναι 4, και η επιλογή της ευκολότερης κατεύθυνσης είναι συχνά το όλο κόλπο.

Ασκηθείτε σύντομη και συχνά

Το πιο αξιόπιστο εύρημα σχετικά με τα χρονοδιαγράμματα εξάσκησης είναι ότι η απόσταση νικάει τη μάζα. Μια ανασκόπηση του 2006 από τον Cepeda και τους συνεργάτες του εξέτασε την κατανεμημένη πρακτική σε μεγάλο αριθμό μελετών και διαπίστωσε ότι η εξάπλωση του ίδιου όγκου πρακτικής με την πάροδο του χρόνου παράγει καλύτερη διατήρηση από τη συγκέντρωση. Πρακτικά, πέντε λεπτά την ημέρα νικούν σαράντα λεπτά την Κυριακή, και είναι επίσης το πρόγραμμα που τηρούν οι άνθρωποι.

Διορθώστε αμέσως κάθε λάθος

Ένα σφάλμα που δεν εξετάζετε είναι μια επανάληψη που περιμένει να συμβεί. Όταν κάνετε κάτι λάθος, το χρήσιμο βήμα δεν είναι να προσπαθήσετε ξανά, αλλά να δείτε ποιο στάδιο χάλασε: η επιλεγμένη μέθοδος, η αριθμητική μέσα σε αυτήν ή μια ολίσθηση στο να κρατήσετε έναν αριθμό. Η ονομασία της σκηνής διαρκεί δευτερόλεπτα και σταματά το ίδιο λάθος να επαναλαμβάνεται, γι' αυτό η εξάσκηση με άμεση διόρθωση κερδίζει την εξάσκηση με ένα σκορ στο τέλος.

Μετρήστε ειλικρινά

Παρακολουθήστε δύο πράγματα: την ακρίβεια σε μια σταθερή δυσκολία και τον χρόνο που απαιτείται. Η ταχύτητα από μόνη της ανταμείβει την εικασία και η ακρίβεια από μόνη της ανταμείβει την προσοχή και μόνο το ζευγάρι μαζί δείχνει βελτίωση. Συγκρίνετε εβδομάδες αντί για συνεδρίες, καθώς η προσοχή και η κούραση κινούν μία μόνο συνεδρία περισσότερο από την ικανότητα. Το Numvolt βασίζεται σε αυτό: μια ήρεμη λειτουργία χωρίς χρονόμετρο όπου κάθε λάθος απάντηση δείχνει τη μέθοδο πίσω από τη διόρθωση και χρονομετρημένα σπριντ όταν θέλετε να μετρήσετε το ζευγάρι μαζί.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin