Mentale wiskundetechnieken die de moeite waard zijn om te leren, en hoe je ze kunt oefenen

Rekenen is een vaardigheid, geen talent

Mensen die snel rekenen, doen bijna nooit wat jij doet, alleen sneller. Ze doen iets anders: werken in een richting die bij het hoofd past in plaats van bij de pagina, afronden op een handig getal en achteraf corrigeren, en vormen herkennen die ze eerder zijn tegengekomen. Niets daarvan is aangeboren. Het is een kleine set technieken plus voldoende oefening, zodat het kiezen tussen deze technieken geen beslissing meer is. De onderstaande technieken zijn de technieken die het leren eerst terugbetalen.

Werk van links naar rechts

Op papier optellen en vermenigvuldigen vanaf de rechterkant, want dat is wat het dragen vereist. In je hoofd is dit de verkeerde kant op, omdat de cijfers die je als eerste nodig hebt voor een schatting de cijfers aan de linkerkant zijn, en omdat het moeilijker is om een halfafgewerkt getal van rechts vast te houden. Om 347 en 285 op te tellen, neem je 300 en 200 om 500 te krijgen, dan 40 en 80 om 620 te krijgen, dan 7 en 5 om 632 te krijgen. Je hebt altijd een bruikbare benadering en de belasting blijft klein.

Compenseer tot een rond getal

Rond af op iets eenvoudigs en corrigeer dan. Voor 68 plus 27 maak je er 70 plus 27 van en trek je er 2 van af. Voor 495 plus 380 maak je er 500 plus 380 van en trek je er 5 van af. Voor 8 keer 49 doe je 8 keer 50 en trek je er 8 af. De correctie is bijna altijd eenvoudiger dan het oorspronkelijke probleem, en deze ene gewoonte neemt de meeste problemen weg bij onhandig ogende getallen.

Verdubbelen en halveren

De vermenigvuldiging blijft ongewijzigd als u de ene factor verdubbelt en de andere halveert. Voor 16 keer 25: halveren en verdubbelen om 8 keer 50 te krijgen, en dan nog een keer om 4 keer 100 te krijgen, wat 400 is. Dit werkt vooral goed als het ene getal even is en het andere dicht bij een rond getal ligt, en het verandert veel vermenigvuldigingen van twee cijfers in iets dat je kunt doen zonder iets op te schrijven.

Keer vijf, maal vijftig

Vermenigvuldigen met 5 is halveren en vervolgens vermenigvuldigen met 10. Voor 84 keer 5 halveert u om 42 te krijgen, en voegt u vervolgens een nul toe voor 420. Vermenigvuldigen met 50 is hetzelfde met twee nullen. Dit is sneller en minder foutgevoelig dan de standaardmethode, en het is de kortere weg die de meeste mensen permanent gebruiken als ze het eenmaal proberen.

Keer negen en keer elf

Om te vermenigvuldigen met 9, vermenigvuldig je met 10 en trek je het oorspronkelijke getal af: 9 keer 47 is 470 min 47, dat is 423. Om een getal van twee cijfers met 11 te vermenigvuldigen, tel je de cijfers op en plaats je de som ertussen: 11 keer 43 is 4, dan 4 plus 3 en dan 3, wat 473 oplevert. Als de som van de cijfers groter is dan negen, neem je dit mee naar het eerste cijfer: 11 keer 68 geeft 6, dan 14, dan 8, dus 748.

Keer vijfentwintig

Vermenigvuldigen met 25 is vermenigvuldigen met 100 en delen door 4. Voor 36 keer 25 neem je 3600 en deel je door 4 om 900 te krijgen. Delen door 4 is twee halveringen, dus niets heeft hier een staartdeling nodig. Hetzelfde idee omvat 75, wat driekwart van 100 is, en 125, wat een achtste van 1000 is.

Vierkantjes en bijna-vierkantjes

Voor vierkanten die eindigen op 5 geldt een regel: neem de eerste cijfers, vermenigvuldig ze met één meer dan zijzelf en voeg 25 toe. Voor 35 kwadraat is 3 keer 4 12, dus het antwoord is 1225. Voor getallen in de buurt van een vierkant gebruik je het verschil tussen twee vierkanten: 49 keer 51 is 50 kwadraat min 1, dat is 2499. Het leren van de vierkanten tot ongeveer 25 betaalt zichzelf herhaaldelijk terug.

Eerst schatten, dan berekenen

Voordat u een berekening maakt die de moeite waard is, moet u een ruw antwoord formuleren door hard af te ronden. Het kost een seconde en het vangt de fouten op die er toe doen, die geen kleine vergissingen zijn, maar antwoorden die een factor tien fout zijn. Deze gewoonte is waardevoller in het dagelijks leven dan welke individuele truc dan ook, omdat de meeste echte rekenkunde bestaat om een beslissing te ondersteunen, en een beslissing heeft meestal meer de juiste orde van grootte nodig dan het laatste cijfer.

Trek af door op te tellen

Aftrekken is vaak gemakkelijker vooruit lopen. Om 168 van 400 te halen, telt u op: 168 tot 200 is 32, en 200 tot 400 is 200, dus het antwoord is 232. Dit is hoe wisselgeld in een winkel wordt gegeven en het voorkomt dat er volledig wordt geleend, en dat is waar de meeste mentale aftrekkingsfouten vandaan komen. Het houdt ook een doorlopend gedeeltelijk antwoord bij, zodat een onderbreking u niet de hele berekening kost.

Breek de cijfers uit elkaar, niet naar beneden

Elke lastige vermenigvuldiging kan worden opgesplitst in stukken die u al kent. Voor 23 keer 7, doe je 20 keer 7 om 140 te krijgen, dan 3 keer 7 om 21 te krijgen, en tel dan op voor 161. Dit is de distributieve eigenschap en het is het meest herbruikbare idee in de hoofdrekenkunde, omdat het alles wat onbekend is, verandert in een som van dingen die bekend zijn. De meeste van de hierboven genoemde trucs zijn speciale gevallen ervan.

Controleer met het laatste cijfer

Een snelle verificatie kost vrijwel niets: het laatste cijfer van een product is alleen afhankelijk van de laatste cijfers van de factoren. Als 23 keer 7 je 160 geeft, zou het laatste cijfer 1 moeten zijn, omdat 3 keer 7 eindigt op 1, zodat je meteen weet dat er iets is misgegaan. Gecombineerd met een schatting van de orde van grootte vangt dit de grote meerderheid van de fouten op zonder de berekening opnieuw uit te voeren.

Leer de stukken die zichzelf terugbetalen

Een kleine voorraad uit het hoofd geleerde feiten neemt veel meer werk weg dan welke techniek dan ook. Maaltafels tot twaalf, kwadraten tot vijfentwintig, de verdubbelingen tot duizend, en de gewone breuk- en percentage-equivalenten. Deze zijn niet glamoureus en onderscheiden iemand die comfortabel rekent van iemand die alles elke keer opnieuw opbouwt. Leer ze in korte, gespreide sessies in plaats van in één keer.

Verdeel door te chunken

Delen is gemakkelijker als u handige veelvouden aftrekt in plaats van het geschreven algoritme te volgen. Om 462 door 14 te delen, merk je op dat 14 keer 30 420 is, waardoor 42 overblijft, en 14 keer 3 is 42, dus het antwoord is 33. Je kiest stukjes die je al kent in plaats van cijfers één voor één te produceren, wat veel beter aansluit bij de manier waarop het hoofd werkt.

Breuken en percentages

Tien procent is een decimale verschuiving; vijf procent is de helft daarvan; één procent is twee ploegen. De meeste percentagevragen worden gemakkelijk door ze uit deze drie samen te stellen. Vijftien procent van 240 is 24 plus 12, wat 36 is. Percentages zijn ook omkeerbaar: 8 procent van 50 is hetzelfde als 50 procent van 8, wat 4 is, en het kiezen van de gemakkelijkere richting is vaak de hele truc.

Oefen kort en vaak

De meest betrouwbare bevinding over oefenschema's is dat afstand beter is dan massa. In een review uit 2006 door Cepeda en collega's werd de gedistribueerde praktijk over een groot aantal onderzoeken onderzocht en werd vastgesteld dat het spreiden van dezelfde hoeveelheid oefening in de tijd een betere retentie oplevert dan het concentreren ervan. In de praktijk is vijf minuten per dag beter dan veertig minuten op zondag, en het is ook het schema dat mensen daadwerkelijk aanhouden.

Corrigeer elke fout onmiddellijk

Een fout die u niet onderzoekt, is een herhaling die nog moet gebeuren. Als je iets verkeerd doet, is de nuttige stap niet om het nog eens te proberen, maar om te kijken in welk stadium de fout is begaan: de gekozen methode, de rekenkunde die erin zit, of een vergissing bij het vasthouden van een getal. Het benoemen van de fase duurt seconden en voorkomt dat dezelfde fout zich opnieuw voordoet. Daarom is oefenen met onmiddellijke correctie beter dan oefenen met een score aan het einde.

Eerlijk meten

Houd twee dingen bij: nauwkeurigheid bij een vaste moeilijkheidsgraad en de benodigde tijd. Alleen snelheid beloont gokken en nauwkeurigheid alleen beloont voorzichtigheid, en alleen het paar samen laat verbetering zien. Vergelijk weken in plaats van sessies, aangezien aandacht en vermoeidheid een enkele sessie meer in beweging brengen dan vaardigheden. Numvolt is hieromheen gebouwd: een rustige modus zonder timer waarbij elk fout antwoord de methode achter de correctie laat zien, en getimede sprints als je het paar samen wilt meten.

Meer lezen

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin