Методи розумової математики, які варто вивчати, і як їх застосовувати

Арифметика - це вміння, а не талант

Люди, які швидко обчислюють, майже ніколи не роблять того, що робите ви, тільки швидше. Вони роблять щось інше: працюють у напрямку, який підходить голові, а не на сторінці, округляють до зручного числа та виправляють потім, а також розпізнають форми, які вони зустрічали раніше. Нічого з цього не є вродженим. Це невеликий набір прийомів плюс достатньо практики, щоб вибір між ними перестав бути рішенням. Методи, наведені нижче, є тими, які в першу чергу окупають навчання.

Працюйте зліва направо

На папері ви додаєте і множите справа, тому що це те, що вимагає носіння. У вашій голові це неправильно, тому що цифри, які вам першочергово потрібні для оцінки, знаходяться зліва, і тому що утримувати напівготове число справа важче. Щоб додати 347 і 285, візьміть 300 і 200, щоб отримати 500, потім 40 і 80, щоб отримати 620, потім 7 і 5, щоб отримати 632. У вас завжди є придатне наближення, а навантаження залишається невеликим.

Компенсуйте до круглого числа

Округліть до чогось легкого, потім виправте. Для 68 плюс 27 зробіть 70 плюс 27 і відніміть 2. Для 495 плюс 380 зробіть 500 плюс 380 і відніміть 5. Для 8 помножених на 49 зробіть 8 помножених на 50 і відніміть 8. Виправлення майже завжди простіше, ніж вихідна задача, і ця єдина звичка усуває більшість труднощів із незграбними на вигляд числами.

Подвоїти і розділити навпіл

Множення не зміниться, якщо один множник подвоїти, а другий зменшити навпіл. Для 16 помножених на 25 розділіть навпіл і подвоїть, щоб отримати 8 помножених на 50, а потім знову, щоб отримати 4 на 100, що дорівнює 400. Це особливо добре працює, коли одне число парне, а інше близьке до круглого, і це перетворює багато двозначних множень на те, що ви можете робити, нічого не записуючи.

Помножити на п'ять, помножити на п'ятдесят

Множення на 5 — це удвічі, а потім множення на 10. Якщо 84 помножити на 5, розділіть навпіл, щоб отримати 42, а потім додайте нуль до 420. Множення на 50 — те ж саме з двома нулями. Це швидший і менш схильний до помилок, ніж стандартний метод, і це ярлик, який більшість людей приймає назавжди, коли спробує його.

Помножити на дев'ять і помножити на одинадцять

Щоб помножити на 9, помножте на 10 і відніміть вихідне число: 9 помножити на 47 дорівнює 470 мінус 47, тобто 423. Щоб помножити двозначне число на 11, додайте цифри та розставте суму між ними: 11 помножити на 43 дорівнює 4, потім 4 плюс 3, потім 3, одержуючи 473. Коли сума цифр перевищує дев’ять, перенесіть у першу цифра: 11 помножити на 68 дає 6, потім 14, потім 8, отже, 748.

Помножити на двадцять п'ять

Множення на 25 — це множення на 100 і ділення на 4. Для 36 помножених на 25 візьміть 3600 і поділіть на 4, щоб отримати 900. Ділення на 4 — це дві половини, тому тут нічого не потрібно довго ділити. Ця сама ідея охоплює 75, що становить три чверті від 100, і 125, що є восьмою від 1000.

Квадрати та примайданчики

Для квадратів, які закінчуються на 5, діє правило: візьміть початкові цифри, помножте на одну більше, ніж вони самі, і додайте 25. Для 35 у квадраті 3 помножити на 4 дорівнює 12, тож відповідь дорівнює 1225. Для чисел біля відомого вам квадрата використовуйте різницю двох квадратів: 49 помножити на 51 — це 50 у квадраті мінус 1, тобто 2499. Вивчення квадратів приблизно до 25 окупає себе неодноразово.

Спочатку оцініть, потім обчисліть

Перед будь-яким обчисленням, яке варто робити, дайте приблизну відповідь шляхом жорсткого округлення. Це коштує секунди, і він виявляє важливі помилки, які не є маленькими помилками, а дають неправильні відповіді в десять разів. Ця звичка є ціннішою в повсякденному житті, ніж будь-який окремий трюк, тому що більшість справжньої арифметики існує для підтримки рішення, а рішення зазвичай потребує правильного порядку величини більше, ніж останньої цифри.

Віднімати, додаючи

Віднімання часто легше виконувати вперед. Щоб взяти 168 із 400, порахуйте: від 168 до 200 дорівнює 32, а від 200 до 400 дорівнює 200, отже, відповідь дорівнює 232. Таким чином дають здачу в магазині, і це повністю уникає запозичень, звідки виникає більшість розумових помилок віднімання. Він також зберігає поточну часткову відповідь, тому переривання не коштує вам повного розрахунку.

Розбивайте числа на частини, а не вниз

Будь-яке незручне множення можна розбити на вже відомі вам частини. Для 23 помножити на 7 виконайте 20 помножити на 7, щоб отримати 140, потім 3 помножити на 7, щоб отримати 21, а потім додати, щоб отримати 161. Це властивість розподілу, і це єдина ідея, яку найбільше багаторазово використовувати в ментальній арифметиці, оскільки вона перетворює все незнайоме на суму знайомих речей. Більшість із названих вище прийомів є окремими випадками.

Перевірте останню цифру

Швидка перевірка майже нічого не коштує: остання цифра продукту залежить лише від останніх цифр факторів. Якщо 23, помножене на 7, дало вам 160, остання цифра має бути 1, оскільки 3, помножене на 7, закінчується на 1, тож ви відразу знаєте, що щось помилилося. У поєднанні з оцінкою порядку величини це виявляє переважну більшість помилок, не повторюючи обчислення.

Дізнайтеся про частини, які окупаються

Невеликий запас завчених фактів забирає набагато більше роботи, ніж будь-яка техніка. Таблиці часу до дванадцяти, квадрати до двадцяти п’яти, подвоєння до тисячі, а також еквіваленти звичайних дробів і відсотків. Вони не гламурні, і саме вони відрізняють тих, хто зручно обчислює, від тих, хто кожного разу реконструює все з нуля. Вивчайте їх за короткі заняття, а не за один присід.

Розділіть на частини

Ділити легше, коли ви віднімаєте зручні кратні, а не дотримуєтеся написаного алгоритму. Щоб розділити 462 на 14, зауважте, що 14 помножити на 30 дорівнює 420, залишиться 42, а 14 помножити на 3 дорівнює 42, тож відповідь дорівнює 33. Ви вибираєте фрагменти, які вам уже відомі, замість того, щоб створювати цифри по одній, що набагато краще відповідає тому, як працює голова.

Дроби і відсотки

Десять відсотків — це десятковий зсув; п'ять відсотків - половина цього; один відсоток - це дві зміни. Більшість процентних запитань стає легше, якщо побудувати їх із цих трьох. П’ятнадцять відсотків від 240 дорівнює 24 плюс 12, що дорівнює 36. Відсотки також можна оборотити: 8 відсотків від 50 дорівнює 50 відсоткам від 8, що дорівнює 4, і вибір простішого напрямку часто є цілим фокусом.

Тренуйтеся коротко і часто

Найнадійніший висновок щодо графіків тренувань полягає в тому, що відстань перевершує масування. Огляд 2006 року, проведений Сепедою та його колегами, досліджував розподіл практики у великій кількості досліджень і виявив, що розподіл однакової кількості практики в часі забезпечує краще утримання, ніж її концентрація. На практиці п’ять хвилин щодня перевершують сорок хвилин у неділю, і це також розклад, якого люди фактично дотримуються.

Негайно виправляйте кожну помилку

Помилка, яку ви не досліджуєте, — це повторення, яке очікує на себе. Коли ви отримуєте щось не так, корисним кроком буде не спробувати ще раз, а подивитися, який етап зламався: обраний метод, арифметика в ньому чи помилка в утриманні числа. Назва етапу займає кілька секунд і запобігає повторенню тієї самої помилки, тому вправа з негайним виправленням перевершує вправу з оцінкою в кінці.

Міряйте чесно

Відстежуйте дві речі: точність при фіксованій складності та витрачений час. Тільки швидкість винагороджує вгадування, а сама точність винагороджує обережність, і лише пара разом демонструє покращення. Порівнюйте тижні, а не сесії, оскільки увага та втома пересувають одну сесію більше, ніж навички. Numvolt побудовано навколо цього: спокійний режим без таймера, де кожна неправильна відповідь показує метод виправлення, і спринт на час, коли ви хочете виміряти пару разом.

Додаткові матеріали

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin