Mentalne techniki matematyczne, których warto się nauczyć i jak je praktykować

Arytmetyka to umiejętność, a nie talent

Osoby, które szybko kalkulują, prawie nigdy nie robią tego samego, co Ty, a jedynie szybciej. Robią coś innego: pracują w kierunku odpowiadającym głowie, a nie kartce, zaokrąglają do wygodnej liczby i później poprawiają oraz rozpoznają kształty, które spotkali wcześniej. Nic z tego nie jest wrodzone. Jest to niewielki zestaw technik plus wystarczająca praktyka, aby wybór pomiędzy nimi przestał być decyzją. Poniższe techniki to te, które jako pierwsze zwracają uwagę na naukę.

Pracuj od lewej do prawej

Na papierze dodajesz i mnożysz od prawej strony, bo tego właśnie wymaga przenoszenie. W twoim umyśle jest to odwrotna sytuacja, ponieważ cyfry, których potrzebujesz jako pierwsze do oszacowania, to te po lewej stronie, a trzymanie niedokończonej liczby z prawej strony jest trudniejsze. Aby dodać 347 i 285, weź 300 i 200, aby otrzymać 500, następnie 40 i 80, aby otrzymać 620, następnie 7 i 5, aby otrzymać 632. Zawsze masz użyteczne przybliżenie, a obciążenie pozostaje małe.

Kompensuj okrągłą liczbę

Zaokrąglij do czegoś łatwego, a następnie popraw. W przypadku 68 plus 27 dodaj 70 plus 27 i odejmij 2. W przypadku 495 plus 380 dodaj 500 plus 380 i odejmij 5. W przypadku 8 razy 49 wykonaj 8 razy 50 i odejmij 8. Korekta jest prawie zawsze prostsza niż pierwotny problem, a ten pojedynczy nawyk usuwa większość trudności związanych z niezręcznie wyglądającymi liczbami.

Podwójne i pół

Mnożenie nie zmienia się, jeśli podwoisz jeden czynnik, a drugi zmniejszysz o połowę. 16 razy 25 podziel na pół i podwój, aby otrzymać 8 razy 50, a następnie ponownie, aby otrzymać 4 razy 100, czyli 400. Działa to szczególnie dobrze, gdy jedna liczba jest parzysta, a druga jest bliska liczby okrągłej, i zamienia wiele dwucyfrowych mnożeń w coś, co można wykonać bez zapisywania czegokolwiek.

Razy pięć, razy pięćdziesiąt

Mnożenie przez 5 oznacza dzielenie o połowę, a następnie mnożenie przez 10. W przypadku 84 razy 5 podziel je na pół, aby otrzymać 42, a następnie dodaj zero, aby uzyskać 420. Mnożenie przez 50 jest takie samo, jeśli chodzi o dwa zera. Jest to szybsza i mniej podatna na błędy metoda niż standardowa metoda, a także jest to skrót, który większość ludzi wybiera na stałe po wypróbowaniu.

Razy dziewięć i razy jedenaście

Aby pomnożyć liczbę przez 9, pomnóż przez 10 i odejmij pierwotną liczbę: 9 razy 47 to 470 minus 47, czyli 423. Aby pomnożyć liczbę dwucyfrową przez 11, dodaj cyfry i umieść między nimi sumę: 11 razy 43 to 4, następnie 4 plus 3, potem 3, co daje 473. Gdy suma cyfr przekracza dziewięć, przenieś do pierwszej cyfry: 11 razy 68 daje 6, potem 14, potem 8, więc 748.

Razy dwadzieścia pięć

Mnożenie przez 25 jest mnożeniem przez 100 i dzieleniem przez 4. W przypadku 36 razy 25 weź 3600 i podziel przez 4, aby otrzymać 900. Dzielenie przez 4 to dwie połowy, więc nic tutaj nie wymaga długiego dzielenia. Ta sama idea obejmuje 75, czyli trzy czwarte liczby 100, i 125, czyli jedną ósmą liczby 1000.

Kwadraty i prawie kwadraty

W przypadku kwadratów kończących się na 5 obowiązuje zasada: weź cyfry wiodące, pomnóż przez jeden więcej niż same siebie i dodaj 25. Dla 35 do kwadratu 3 razy 4 równa się 12, więc odpowiedź brzmi 1225. W przypadku znanych liczb w pobliżu kwadratu użyj różnicy dwóch kwadratów: 49 razy 51 to 50 do kwadratu minus 1, czyli 2499. Nauka kwadratów do około 25 opłaca się wielokrotnie.

Najpierw oszacuj, potem oblicz

Przed dokonaniem jakichkolwiek obliczeń warto uzyskać przybliżoną odpowiedź, mocno zaokrąglając. Zajmuje to sekundę, a wychwytuje istotne błędy, które nie są drobnymi pomyłkami, ale dziesięciokrotnymi błędnymi odpowiedziami. Ten nawyk jest cenniejszy w życiu codziennym niż jakakolwiek indywidualna sztuczka, ponieważ istnieje większość prawdziwej arytmetyki wspierającej decyzję, a decyzja zwykle wymaga odpowiedniego rzędu wielkości bardziej niż ostatniej cyfry.

Odejmij, dodając

Odejmowanie jest często łatwiejsze, jeśli biegniesz do przodu. Aby odjąć 168 od 400, policz: 168 do 200 to 32, a 200 do 400 to 200, więc odpowiedź brzmi 232. W ten sposób w sklepie podaje się resztę i pozwala to całkowicie uniknąć pożyczania, a to właśnie stąd bierze się większość błędów w odejmowaniu mentalnym. Utrzymuje także częściową odpowiedź, więc przerwa nie kosztuje Cię całych obliczeń.

Dziel liczby na części, a nie na części

Każde niewygodne mnożenie można podzielić na części, które już znasz. Dla 23 razy 7 wykonaj 20 razy 7, aby otrzymać 140, następnie 3 razy 7, aby otrzymać 21, a następnie dodaj, aby otrzymać 161. Jest to własność rozdzielcza i jest to idea, którą najczęściej można ponownie wykorzystać w arytmetyce mentalnej, ponieważ zamienia wszystko, co nieznane, w sumę rzeczy znanych. Większość wymienionych powyżej sztuczek to specjalne przypadki.

Sprawdź ostatnią cyfrę

Szybka weryfikacja prawie nic nie kosztuje: ostatnia cyfra produktu zależy tylko od ostatnich cyfr czynników. Jeśli 23 razy 7 dałoby 160, ostatnią cyfrą powinno być 1, ponieważ 3 razy 7 kończy się na 1, więc od razu wiesz, że coś się przesunęło. W połączeniu z oszacowaniem rzędu wielkości pozwala to wychwycić większość błędów bez konieczności powtarzania obliczeń.

Naucz się elementów, które się zwracają

Niewielki zasób zapamiętanych faktów wymaga znacznie więcej pracy niż jakakolwiek technika. Tabele mnożenia do dwunastu, kwadraty do dwudziestu pięciu, podwojenia do tysiąca oraz odpowiedniki ułamków zwykłych i procentów. To nie jest efektowne i to właśnie odróżnia kogoś, kto kalkuluje wygodnie, od kogoś, kto za każdym razem rekonstruuje wszystko od zera. Ucz się ich w krótkich sesjach, a nie podczas jednego posiedzenia.

Podziel przez porcjowanie

Dzielenie jest łatwiejsze, gdy odejmuje się wygodne wielokrotności, zamiast postępować zgodnie z zapisanym algorytmem. Aby podzielić 462 przez 14, zauważ, że 14 razy 30 równa się 420, co daje 42, a 14 razy 3 daje 42, więc odpowiedź brzmi 33. Wybierasz fragmenty, które już znasz, zamiast tworzyć cyfry pojedynczo, co znacznie lepiej pasuje do tego, jak głowa pracuje znacznie lepiej.

Ułamki i procenty

Dziesięć procent to przesunięcie dziesiętne; pięć procent to połowa; jeden procent to dwie zmiany. Większość pytań procentowych staje się łatwa, jeśli zbudujesz je z tych trzech. Piętnaście procent z 240 to 24 plus 12, czyli 36. Procenty są również odwracalne: 8 procent z 50 to to samo, co 50 procent z 8, czyli 4, a wybranie łatwiejszego kierunku to często cała sztuka.

Ćwicz krótko i często

Najbardziej wiarygodnym wnioskiem na temat harmonogramów ćwiczeń jest to, że odstępy są ważniejsze od masowania. Przegląd przeprowadzony w 2006 roku przez Cepedę i współpracowników zbadał rozproszoną praktykę w dużej liczbie badań i wykazał, że rozłożenie tej samej ilości ćwiczeń w czasie zapewnia lepsze zapamiętywanie niż ich koncentracja. W praktyce pięć minut dziennie zastępuje czterdzieści minut w niedzielę i jest to również harmonogram, którego ludzie faktycznie przestrzegają.

Natychmiast popraw każdy błąd

Błąd, którego nie zbadasz, jest powtórzeniem, które czeka, aby się wydarzyć. Kiedy coś ci się pomyli, nie warto próbować ponownie, ale sprawdzić, który etap się zepsuł: wybrana metoda, zawarta w niej arytmetyka czy poślizg w trzymaniu liczby. Nazwanie etapu zajmuje kilka sekund i zapobiega powtarzaniu się tego samego błędu, dlatego też praktyka z natychmiastową korektą przewyższa praktykę z partyturą na końcu.

Mierz uczciwie

Śledź dwie rzeczy: dokładność na stałym poziomie trudności i czas. Sama szybkość nagradza zgadywanie, a dokładność nagradza ostrożność i tylko para razem wykazuje poprawę. Porównaj tygodnie, a nie sesje, ponieważ uwaga i zmęczenie poruszają jedną sesję bardziej niż umiejętności. Numvolt opiera się na tym: trybie spokojnym bez timera, w którym każda zła odpowiedź pokazuje metodę leżącą u podstaw korekty, oraz sprintach czasowych, gdy chcesz zmierzyć parę razem.

Więcej informacji

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin