Техники ментальной математики, которые стоит изучить, и как их практиковать

Арифметика – это навык, а не талант

Люди, которые быстро считают, почти никогда не делают то, что делаете вы, только быстрее. Они делают другое: работают в направлении, удобном для головы, а не для страницы, округляя до удобного числа и исправляя потом, и узнавая формы, с которыми они встречались раньше. Ничто из этого не является врожденным. Это небольшой набор техник плюс достаточно практики, чтобы выбор между ними перестал быть решением. Приведенные ниже методы — это те, которые в первую очередь приносят пользу за обучение.

Работайте слева направо

На бумаге вы складываете и умножаете справа, потому что именно этого требует ношение. В вашей голове все происходит неправильно, потому что цифры, которые вам нужны в первую очередь для оценки, — это цифры слева, и потому что удержать наполовину законченное число справа труднее. Чтобы сложить 347 и 285, возьмите 300 и 200, чтобы получить 500, затем 40 и 80, чтобы получить 620, затем 7 и 5, чтобы получить 632. У вас всегда есть подходящее приближение, и нагрузка остается небольшой.

Компенсация круглого числа

Округлите до чего-нибудь простого, а затем исправьте. Для 68 плюс 27 сделайте 70 плюс 27 и вычтите 2. Для 495 плюс 380 получите 500 плюс 380 и вычтите 5. Для 8 умножьте 49 на 8 умножьте на 50 и вычтите 8. Исправление почти всегда проще, чем исходная задача, и эта единственная привычка устраняет большую часть трудностей, связанных с неуклюжими числами.

Двойной и пополам

Умножение не изменится, если вы удвоите один множитель и уменьшите вдвое другой. Чтобы получить 16 раз по 25, разделите пополам и удвойте, чтобы получить 8 раз по 50, затем еще раз, чтобы получить 4 раза по 100, что равно 400. Это работает особенно хорошо, когда одно число четное, а другое близко к круглому, и это превращает множество двузначных умножений в то, что вы можете сделать, ничего не записывая.

Раз пять, раз пятьдесят

Умножение на 5 означает уменьшение пополам, а затем умножение на 10. Чтобы 84 умножить на 5, разделите пополам, чтобы получить 42, затем добавьте ноль, чтобы получить 420. Умножение на 50 аналогично двум нулям. Это быстрее и менее подвержено ошибкам, чем стандартный метод, и это сокращенный вариант, который большинство людей постоянно используют, как только попробуют его.

Времена девять и времена одиннадцать

Чтобы умножить на 9, умножьте на 10 и вычтите исходное число: 9 умножить на 47 — это 470 минус 47, что равно 423. Чтобы умножить двузначное число на 11, сложите цифры и поместите сумму между ними: 11 умножьте на 43 — это 4, затем 4 плюс 3, затем 3, давая 473. Когда сумма цифр превышает девять, перенесите в первую цифру: 11 умножить на 68 дает 6, затем 14, затем 8, итак 748.

Времена двадцать пять

Умножить на 25 — это умножить на 100 и разделить на 4. Для того, чтобы 36 умножить на 25, возьмите 3600 и разделите на 4, чтобы получить 900. Деление на 4 — это два деления пополам, поэтому здесь ничего не нужно долго делить. Та же самая идея охватывает 75, что составляет три четверти 100, и 125, что составляет восьмую часть 1000.

Квадраты и почти квадраты

Для квадратов, оканчивающихся на 5, действует правило: возьмите старшие цифры, умножьте их на единицу больше, чем они сами, и прибавьте 25. Для 35 в квадрате 3, умноженное на 4, будет 12, поэтому ответ будет 1225. Для чисел, близких к квадрату, который вы знаете, используйте разницу двух квадратов: 49, умноженный на 51, равно 50 в квадрате минус 1, что равно 2499. Изучение квадратов примерно до 25 многократно окупается.

Сначала оцените, затем рассчитайте

Прежде чем делать какие-либо расчеты, дайте приблизительный ответ, сильно округлив. Это стоит секунды и выявляет важные ошибки, которые не являются мелкими промахами, но дают неправильные ответы в десять раз. Эта привычка более ценна в повседневной жизни, чем любой отдельный трюк, потому что большая часть реальной арифметики существует для обоснования решения, а для решения обычно требуется правильный порядок величины больше, чем последняя цифра.

Вычесть, сложив

Вычитание зачастую проще бежать вперед. Чтобы отнять 168 от 400, подсчитайте: от 168 до 200 — это 32, а от 200 до 400 — 200, поэтому ответ — 232. Именно так выдают сдачу в магазине, и это позволяет полностью избежать взятия взаймы, откуда возникает большинство ошибок в уме. Он также сохраняет текущий частичный ответ, поэтому прерывание не будет стоить вам всего расчета.

Разбивайте числа на части, а не вниз

Любое неудобное умножение можно разбить на уже известные вам части. Чтобы получить 23 по 7, сделайте 20 по 7, чтобы получить 140, затем 3 раза по 7, чтобы получить 21, затем прибавьте 161. Это распределительное свойство, и это единственная наиболее часто используемая идея в ментальной арифметике, поскольку она превращает все незнакомое в сумму знакомых вещей. Большинство из названных выше трюков являются его частными случаями.

Проверьте по последней цифре

Быстрая проверка почти ничего не стоит: последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Если 23×7 дало вам 160, то последняя цифра должна быть 1, так как 3×7 оканчивается на 1, поэтому вы сразу понимаете, что что-то поскользнулось. В сочетании с оценкой порядка величины это позволяет выявить подавляющее большинство ошибок без повторного выполнения вычислений.

Изучите части, которые окупают себя

Небольшой запас заученных фактов отнимает гораздо больше работы, чем любая техника. Таблицы умножения до двенадцати, квадраты до двадцати пяти, удвоения до тысячи, а также обыкновенные дроби и процентные эквиваленты. Это не гламурно, и именно они отличают человека, который комфортно считает, от человека, который каждый раз реконструирует все с нуля. Изучите их на коротких занятиях, а не за один присест.

Разделить на части

Деление становится проще, если вы вычитаете удобные кратные, а не следуете написанному алгоритму. Чтобы разделить 462 на 14, обратите внимание, что 14 умножить на 30 будет 420, останется 42, а 14 умножить на 3 будет 42, то есть ответ будет 33. Вы выбираете уже известные фрагменты, а не производите цифры по одной, что гораздо лучше соответствует принципу работы головы.

Дроби и проценты

Десять процентов — это десятичный сдвиг; пять процентов — это половина этой суммы; один процент — это две смены. Большинство процентных вопросов становится проще, если составить их из этих трех. Пятнадцать процентов от 240 — это 24 плюс 12, что составляет 36. Проценты также обратимы: 8 процентов от 50 — это то же самое, что 50 процентов от 8, что равно 4, и выбор более легкого направления часто является целым трюком.

Практикуйтесь коротко и часто

Самый достоверный вывод о расписании тренировок заключается в том, что интервалы важнее концентрации. Обзор 2006 года, проведенный Сепедой и его коллегами, проанализировал распределенную практику в большом количестве исследований и обнаружил, что распространение одного и того же объема практики с течением времени обеспечивает лучшее удержание, чем его концентрация. На практике пять минут в день лучше сорока минут в воскресенье, и люди действительно придерживаются этого графика.

Немедленно исправляйте каждую ошибку

Ошибка, которую вы не исследуете, — это ожидающее повторения. Если вы делаете что-то не так, полезно не пытаться еще раз, а посмотреть, на каком этапе произошел сбой: выбранный метод, арифметика внутри него или ошибка в удержании числа. Наименование этапа занимает секунды и предотвращает повторение одной и той же ошибки, поэтому практика с немедленным исправлением лучше практики с результатом в конце.

Измеряйте честно

Отслеживайте две вещи: точность при фиксированной сложности и затраченное время. Одна только скорость вознаграждает за догадку, а только точность вознаграждает за осторожность, и только эта пара вместе демонстрирует улучшение. Сравнивайте недели, а не занятия, поскольку внимание и усталость влияют на одно занятие больше, чем навыки. Numvolt построен на этом: спокойный режим без таймера, где каждый неправильный ответ показывает метод исправления, и спринты на время, когда вы хотите измерить пару вместе.

Дополнительно

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin