Tecniche di matematica mentale che vale la pena imparare e come praticarle

L'aritmetica è un'abilità, non un talento

Le persone che calcolano velocemente non fanno quasi mai quello che stai facendo tu, solo più velocemente. Stanno facendo qualcosa di diverso: lavorano in una direzione che si adatta alla testa piuttosto che alla pagina, arrotondando a un numero conveniente e correggendo successivamente, e riconoscendo le forme che hanno incontrato prima. Niente di tutto ciò è innato. Si tratta di un piccolo insieme di tecniche più una pratica sufficiente affinché la scelta tra di loro smetta di essere una decisione. Le tecniche seguenti sono quelle che ripagano per prime l’apprendimento.

Lavora da sinistra a destra

Sulla carta aggiungi e moltiplichi da destra, perché questo è ciò che richiede il trasporto. Nella tua testa questo è il modo sbagliato, perché le cifre che ti servono per prime per una stima sono quelle a sinistra, e perché tenere un numero finito a metà da destra è più difficile. Per sommare 347 e 285, prendi 300 e 200 per ottenere 500, poi 40 e 80 per ottenere 620, quindi 7 e 5 per ottenere 632. Hai sempre un'approssimazione utilizzabile e il carico rimane piccolo.

Compensare con un numero tondo

Arrotonda a qualcosa di facile, quindi correggi. Per 68 più 27, fai 70 più 27 e sottrai 2. Per 495 più 380, fai 500 più 380 e sottrai 5. Per 8 volte 49, fai 8 volte 50 e sottrai 8. La correzione è quasi sempre più semplice del problema originale e questa singola abitudine rimuove gran parte della difficoltà dai numeri dall'aspetto scomodo.

Raddoppia e dimezza

La moltiplicazione non cambia se raddoppi un fattore e dimezzi l'altro. Per 16 volte 25, dimezza e raddoppia per ottenere 8 volte 50, poi ancora per ottenere 4 volte 100, che fa 400. Funziona particolarmente bene quando un numero è pari e l'altro è vicino a un numero tondo, e trasforma molte moltiplicazioni a due cifre in qualcosa che puoi fare senza scrivere nulla.

Per cinque, per cinquanta

Moltiplicare per 5 significa dimezzare e poi moltiplicare per 10. Per 84 volte 5, dimezza per ottenere 42, quindi aggiungi uno zero per 420. Moltiplicare per 50 è lo stesso con due zeri. Questo è più veloce e meno soggetto a errori rispetto al metodo standard ed è la scorciatoia che la maggior parte delle persone adotta in modo permanente dopo averlo provato.

Per nove e per undici volte

Per moltiplicare per 9, moltiplica per 10 e sottrai il numero originale: 9 per 47 fa 470 meno 47, ovvero 423. Per moltiplicare un numero a due cifre per 11, aggiungi le cifre e metti la somma tra di loro: 11 per 43 fa 4, poi 4 più 3, quindi 3, ottenendo 473. Quando la somma delle cifre supera nove, riporta nella prima cifra: 11 volte 68 dà 6, poi 14, poi 8, quindi 748.

Per venticinque volte

Moltiplicare per 25 significa moltiplicare per 100 e dividere per 4. Per 36 volte 25, prendi 3600 e dividi per 4 per ottenere 900. Dividere per 4 equivale a due dimezzamenti, quindi qui non c'è bisogno di una divisione lunga. La stessa idea copre 75, che è tre quarti di 100, e 125, che è un ottavo di 1000.

Quadrati e quasi-quadrati

I quadrati che terminano con 5 hanno una regola: prendi le cifre iniziali, moltiplicale per uno più di se stesse e aggiungi 25. Per 35 al quadrato, 3 per 4 fa 12, quindi la risposta è 1225. Per i numeri vicini a un quadrato che conosci, usa la differenza di due quadrati: 49 per 51 è 50 al quadrato meno 1, che fa 2499. Imparare i quadrati fino a circa 25 si ripaga ripetutamente.

Prima stima, poi calcola

Prima di eseguire qualsiasi calcolo, fornisci una risposta approssimativa arrotondando forte. Costa un secondo e coglie gli errori che contano, che non sono piccoli lapsus ma risposte sbagliate dieci volte. Questa abitudine è più preziosa nella vita quotidiana di qualsiasi trucco individuale, perché la maggior parte dell'aritmetica reale esiste per supportare una decisione, e una decisione di solito ha bisogno del giusto ordine di grandezza più che dell'ultima cifra.

Sottrarre sommando

La sottrazione è spesso più semplice da eseguire in avanti. Per prendere 168 da 400, conta: da 168 a 200 fa 32, e da 200 a 400 fa 200, quindi la risposta è 232. Questo è il modo in cui viene dato il resto in un negozio ed evita completamente il prestito, da cui derivano la maggior parte degli errori di sottrazione mentale. Mantiene anche una risposta parziale in esecuzione, quindi un'interruzione non ti costa l'intero calcolo.

Suddividi i numeri, non sminuzzarli

Qualsiasi moltiplicazione scomoda può essere divisa in pezzi che già conosci. Per 23 volte 7, fai 20 volte 7 per ottenere 140, poi 3 volte 7 per ottenere 21, quindi aggiungi per ottenere 161. Questa è la proprietà distributiva ed è l'idea più riutilizzabile nell'aritmetica mentale, perché trasforma qualsiasi cosa non familiare in una somma di cose familiari. La maggior parte dei trucchi sopra menzionati ne sono casi speciali.

Controllare con l'ultima cifra

Una verifica veloce non costa quasi nulla: l'ultima cifra di un prodotto dipende solo dalle ultime cifre dei fattori. Se 23 per 7 ti dà 160, l'ultima cifra dovrebbe essere 1, poiché 3 per 7 finisce con 1, quindi sai immediatamente che qualcosa è sfuggito. Combinato con una stima dell’ordine di grandezza, questo rileva la grande maggioranza degli errori senza ripetere il calcolo.

Impara i pezzi che si ripagano

Una piccola quantità di fatti memorizzati richiede molto più lavoro di qualsiasi tecnica. Le tabelline fino a dodici, i quadrati fino a venticinque, i raddoppio fino a mille, la frazione comune e gli equivalenti percentuali. Queste non sono glamour e sono ciò che distingue chi calcola comodamente da chi ogni volta ricostruisce tutto da zero. Imparateli in sessioni brevi e distanziate piuttosto che in una sola seduta.

Dividere in pezzi

La divisione è più semplice quando sottrai multipli convenienti anziché seguire l'algoritmo scritto. Per dividere 462 per 14, nota che 14 per 30 fa 420, lasciando 42, e 14 per 3 fa 42, quindi la risposta è 33. Stai scegliendo pezzi che già conosci invece di produrre cifre una alla volta, il che si adatta molto meglio al funzionamento della testa.

Frazioni e percentuali

Il dieci per cento è uno spostamento decimale; il 5% è la metà; l'1% equivale a due turni. La maggior parte delle domande sulle percentuali diventano facili costruendole a partire da queste tre. Il quindici per cento di 240 è 24 più 12, che fa 36. Le percentuali sono anche reversibili: l'8 per cento di 50 è uguale al 50 per cento di 8, che è 4, e scegliere la direzione più semplice spesso è l'intero trucco.

Esercitati brevemente e spesso

La scoperta più attendibile sugli orari degli allenamenti è che la spaziatura batte la massa. Una revisione del 2006 di Cepeda e colleghi ha esaminato la pratica distribuita in un ampio corpus di studi e ha scoperto che diffondere la stessa quantità di pratica nel tempo produce una migliore fidelizzazione rispetto alla concentrazione. In termini pratici, cinque minuti al giorno battono i quaranta minuti della domenica, ed è anche il programma che le persone effettivamente seguono.

Correggi immediatamente ogni errore

Un errore che non esamini è una ripetizione in attesa di verificarsi. Quando si sbaglia qualcosa, il passo utile non è riprovare ma vedere quale fase si è interrotta: il metodo scelto, l'aritmetica al suo interno, o un foglietto contenente un numero. Dare un nome alla fase richiede pochi secondi ed evita che lo stesso errore si ripeta, ecco perché la pratica con la correzione immediata batte la pratica con un punteggio alla fine.

Misura onestamente

Tieni traccia di due cose: la precisione a una difficoltà fissa e il tempo impiegato. La velocità da sola premia l’ipotesi e la precisione da sola premia la cautela, e solo la coppia insieme mostra un miglioramento. Confronta settimane piuttosto che sessioni, poiché l'attenzione e la stanchezza muovono una singola sessione più di quanto non faccia l'abilità. Numvolt è costruito attorno a questo: una modalità calma senza timer in cui ogni risposta sbagliata mostra il metodo dietro la correzione e sprint cronometrati quando vuoi misurare insieme la coppia.

Per approfondire

• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin