Come dividere i numeri a mente, con esempi pratici

La divisione è la moltiplicazione all'indietro

Molte persone risolvono una semplice divisione pensando a una moltiplicazione: 56 ÷ 7 è il numero che, moltiplicato per 7, dà 56. Lo studio di Campbell sugli studenti universitari ha scoperto che i tempi di risposta per i problemi di divisione e moltiplicazione erano altamente correlati, e i suoi risultati suggeriscono che la moltiplicazione viene spesso utilizzata almeno per verificare la divisione. La conseguenza pratica è semplice: fatti di moltiplicazione attendibili sono il fondamento della divisione mentale, e qualsiasi lacuna in essi si manifesta due volte.

Fai la domanda sul fattore mancante

Per 72 ÷ 8, chiedi quanto per 8 fa 72. Per 144 ÷ 12, chiedi quanto per 12 fa 144. La divisione formulata in questo modo la trasforma in un ricordo quando il fatto è noto, e in una breve ricerca attorno a un fatto noto quando non lo è: se sai che 8 × 10 = 80, allora 72 è un 8 in meno, quindi la risposta è 9.

Semplificare prima di dividere

Dividere entrambi i numeri per lo stesso fattore non cambia la risposta e spesso rende banale il problema. Per 144 ÷ 36, dividi entrambi per 9 per ottenere 16 ÷ 4 = 4. Per 630 ÷ 15, raddoppia entrambi per ottenere 1.260 ÷ 30, che fa 42. Il raddoppio è legittimo quanto il dimezzamento; l'obiettivo è un divisore con cui sia facile lavorare.

dimezzamento ripetuto per 2, 4, 8 e 16

Dividere per 4 significa dimezzare due volte, per 8 dimezzare tre volte e per 16 dimezzare quattro volte. 184 ÷ 8: 92, 46, 23. 1.000 ÷ 16: 500, 250, 125, 62,5. Ogni passaggio contiene un solo numero, motivo per cui il dimezzamento ripetuto non danneggia la memoria di lavoro, la risorsa che DeStefano e LeFevre identificano come il collo di bottiglia dell'aritmetica mentale, anche quando il risultato non è un numero intero.

Dividendo per 5, 25 e 125

Questi divisori sono più facili delle moltiplicazioni. Dividere per 5 equivale a moltiplicare per 2 e dividere per 10: 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. Dividere per 25 equivale a moltiplicare per 4 e dividere per 100: 475 ÷ 25 = 1.900 ÷ 100 = 19. Dividere per 125 equivale a moltiplicare per 8 e dividendo per 1.000: 3.000 ÷ 125 = 24.000 ÷ 1.000 = 24. Lo schema funziona perché 5 × 2 = 10, 25 × 4 = 100 e 125 × 8 = 1.000.

Dividere grandi numeri in pezzi

Per 924 ÷ 7, estrarre i multipli facili di 7 uno alla volta. 7 × 100 = 700 foglie 224. 7 × 30 = 210 foglie 14. 7 × 2 = 14 non lascia nulla. Somma i pezzi: 100 + 30 + 2 = 132. La divisione in pezzi è la versione mentale della divisione lunga, ma con i pezzi che scegli per comodità anziché una cifra alla volta, puoi togliere 50 o 200 dal divisore ogni volta che è più facile.

Stimare prima il quoziente

Prima di una divisione esatta, arrotonda a un problema che puoi fare. 4.870 ÷ 62 è all'incirca 4.800 ÷ 60, ovvero 80. La risposta esatta è 78,5 con un decimale. La stima indica la dimensione della risposta e rileva un valore posizionale spostato. Può anche dirti la direzione dell'errore: qui il divisore è stato arrotondato per difetto proporzionalmente di più del dividendo, quindi la risposta vera dovrebbe essere leggermente inferiore a 80, e lo è.

Verifica rapidamente la divisibilità

Alcune regole ti dicono se una divisione risulterà integra. Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari, per 5 se termina con 0 o 5, per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9 e per 4 se le sue ultime due cifre formano un multiplo di 4. 4.017 ha una somma di cifre pari a 12, quindi è divisibile per 3: 4.017 ÷ 3 = 1.339. Queste regole sono anche il modo in cui trovi un fattore comune per semplificare.

Resti e cosa farne

Molte divisioni non risultano intere. 100 ÷ 7 fa 14 con resto di 2, perché 7 × 14 = 98. Dipende dalla domanda se ti serve il resto, un decimale o una risposta arrotondata: 100 sedie disposte in file da 7 fanno 14 file complete con 2 sedie avanzate, mentre una quantità di 100 divisa tra 7 persone dà circa 14,29 ciascuna.

Trasformare i resti in decimali

Conoscere alcune frazioni come decimali rende facile il resto. 45 ÷ 8 è 5 con resto di 5 e 5/8 è 0,625, quindi 45 ÷ 8 = 5,625. Vale la pena saperlo: le metà sono 0,5, i quarti 0,25 e 0,75, gli ottavi salgono con incrementi di 0,125, i quinti con incrementi di 0,2 e un settimo è circa 0,143. Per gli altri divisori, continua la divisione aggiungendo uno zero al resto: 2 ÷ 7 diventa 20 ÷ 7 = 2 resto 6, quindi il primo decimale è 2, e così via.

Divisione per numeri vicini a quello rotondo

Dividere per 49 o 51 è simile a dividere per 50 e spesso il risultato arrotondato è sufficiente. 1.000 ÷ 49 è poco più di 1.000 ÷ 50 = 20; la risposta esatta è circa 20.4. Quando arrotondi un divisore, nota la direzione: un divisore più piccolo dà un risultato più grande, e un divisore più grande dà un risultato più piccolo.

Divisione come frazione

Scrivere una divisione come frazione e semplificarla spesso rivela la risposta. 150 ÷ 40 è 150/40, che si semplifica in 15/4, e 15/4 è 3,75. 210 ÷ 35 diventa 42/7 una volta che entrambi i numeri sono divisi per 5, ovvero 6. Questa è la stessa mossa della semplificazione prima della divisione, ma scriverla come una frazione rende più facile vedere i fattori comuni.

Verifica moltiplicando

Ogni divisione prevede un controllo gratuito: moltiplica il risultato per il divisore. Se 924 ÷ 7 = 132, allora 132 × 7 dovrebbe dare 924, e cioè: 700 + 210 + 14 = 924. Il controllo richiede pochi secondi e prova anche la moltiplicazione da cui dipende la divisione.

Esercitati con la divisione e la moltiplicazione

Poiché le due operazioni hanno così tanto in comune, ha senso praticarle insieme. Mescola i problemi di divisione nella pratica della moltiplicazione piuttosto che lasciarli alla fine, e quando un fatto di divisione è lento, esercitati nella moltiplicazione corrispondente. Rohrer e Taylor hanno scoperto che mischiare i tipi di problemi durante la pratica ha aiutato le prestazioni successive rispetto allo studio di un tipo alla volta.

Dove si adatta Numvolt

Numvolt include la divisione insieme ad addizione, sottrazione e moltiplicazione, nella modalità Zen senza timer, dove ogni risposta sbagliata mostra il metodo dietro la correzione, e in turni cronometrati di 15, 30 o 60 secondi. Per i resti e i decimali, le fatture giornaliere, i prezzi unitari e i costi condivisi rappresentano una buona pratica aggiuntiva.

Per approfondire

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science