Jak dzielić liczby w głowie, na sprawdzonych przykładach

Dzielenie to mnożenie wstecz

Wiele osób rozwiązuje proste dzielenie, myśląc o mnożeniu: 56 ÷ 7 to liczba, która pomnożona przez 7 daje 56. Badanie Campbella przeprowadzone na studentach uniwersytetu wykazało, że czasy odpowiedzi w przypadku dopasowywania problemów z dzieleniem i mnożeniem były silnie skorelowane, a jego wyniki sugerują, że mnożenie jest często używane przynajmniej do sprawdzania dzielenia. Praktyczna konsekwencja jest prosta: wiarygodne fakty dotyczące mnożenia są podstawą podziału mentalnego, a każda luka w nich pojawia się dwukrotnie.

Zadaj pytanie dotyczące brakującego czynnika

Dla 72 ÷ 8 zapytaj, ile razy 8 daje 72. Dla 144 ÷ 12 zapytaj, ile razy 12 daje 144. Dzielenie frazowe w ten sposób zamienia je w przypomnienie, gdy fakt jest znany, i w krótkie wyszukiwanie wokół znanego faktu, gdy tak nie jest: jeśli wiesz, że 8 × 10 = 80, to 72 to jedno 8 mniej, więc odpowiedzią jest 9.

Uprość przed podziałem

Dzielenie obu liczb przez ten sam współczynnik nie zmienia odpowiedzi, a często sprawia, że problem staje się trywialny. Dla 144 ÷ 36 podziel oba przez 9, aby otrzymać 16 ÷ 4 = 4. Dla 630 ÷ 15 podwój oba, aby otrzymać 1260 ÷ 30, czyli 42. Podwojenie jest tak samo uzasadnione jak zmniejszenie o połowę; celem jest dzielnik, z którym łatwo się pracuje.

powtórzony halving dla 2, 4, 8 i 16

Dzielenie przez 4 oznacza dwukrotne zmniejszenie o połowę, przez 8 o połowę, a przez 16 o połowę czterokrotnie. 184 ÷ 8: 92, 46, 23. 1000 ÷ 16: 500, 250, 125, 62,5. Każdy krok zawiera tylko jedną liczbę, dlatego wielokrotne dzielenie na pół nie obciąża pamięci roboczej, którą DeStefano i LeFevre uznają za wąskie gardło arytmetyki mentalnej, nawet jeśli wynik nie jest liczbą całkowitą.

Dzielenie przez 5, 25 i 125

Te dzielniki są łatwiejsze jako mnożenia. Dzielenie przez 5 to pomnożenie przez 2 i podzielenie przez 10: 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. Dzielenie przez 25 to pomnożenie przez 4 i podzielenie przez 100: 475 ÷ 25 = 1900 ÷ 100 = 19. Dzielenie przez 125 to pomnożenie przez 8 i dzielenie przez 1000: 3000 ÷ 125 = 24 000 ÷ 1000 = 24. Wzór działa, ponieważ 5 × 2 = 10, 25 × 4 = 100 i 125 × 8 = 1000.

Dzielenie dużych liczb na kawałki

Dla 924 ÷ 7 wyjmuj łatwe wielokrotności 7 pojedynczo. 7 × 100 = 700 liści 224,7 × 30 = 210 liści 14,7 × 2 = 14 nie pozostawia nic. Dodaj części: 100 + 30 + 2 = 132. Dzielenie na kawałki jest mentalną wersją dzielenia długiego, ale w przypadku dzielenia na części wybierasz dla wygody, a nie jednej cyfry na raz, więc możesz wyjąć 50 lub 200 dzielnika, gdy jest to łatwiejsze.

Najpierw oszacuj iloraz

Przed dokładnym podziałem zaokrąglij do problemu, który możesz rozwiązać. 4870 ÷ 62 to w przybliżeniu 4800 ÷ 60, czyli 80. Dokładna odpowiedź to 78,5 do jednego miejsca po przecinku. Oszacowanie informuje o rozmiarze odpowiedzi i uwzględnia wartość pominiętego miejsca. Może również wskazać kierunek błędu: tutaj dzielnik został zaokrąglony w dół proporcjonalnie bardziej niż dywidenda, więc prawdziwa odpowiedź powinna wynosić nieco poniżej 80 i tak jest.

Szybko sprawdź podzielność

Kilka zasad mówi, czy podział wyjdzie w całości. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli kończy się cyfrą parzystą, przez 5, jeśli kończy się na 0 lub 5, przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3, przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9, i przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą wielokrotność 4. Liczba 4017 ma sumę cyfr 12, więc jest podzielna przez 3: 4,017 ÷ 3 = 1339. Zasady te są także sposobem na znalezienie wspólnego czynnika upraszczającego.

Pozostałości i co z nimi zrobić

Wiele podziałów nie wychodzi w całości. 100 ÷ 7 to 14 z resztą 2, bo 7 × 14 = 98. To, czy potrzebujesz reszty, dziesiętnej czy zaokrąglonej, zależy od pytania: 100 krzeseł ustawionych w rzędach po 7 daje 14 pełnych rzędów z pozostałymi 2 krzesłami, natomiast liczba 100 rozdzielonych między 7 osób daje około 14,29 na każde.

Zamiana reszt na ułamki dziesiętne

Znajomość kilku ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej ułatwia resztę. 45 ÷ 8 to 5 z resztą 5, a 5/8 to 0,625, więc 45 ÷ 8 = 5,625. Warto wiedzieć: połówki wynoszą 0,5, ćwiartki 0,25 i 0,75, ósemki rosną w krokach co 0,125, piąte w krokach co 0,2, a jedna siódma to około 0,143. W przypadku innych dzielników kontynuuj dzielenie, dodając zero do reszty: 2 ÷ 7 staje się 20 ÷ 7 = 2 reszta 6, więc pierwszym miejscem po przecinku jest 2 i tak dalej.

Dzielenie przez liczby w pobliżu okrągłej jedynki

Dzielenie przez 49 lub 51 jest bliskie dzieleniu przez 50 i często wystarcza zaokrąglona odpowiedź. 1000 ÷ 49 to trochę więcej niż 1000 ÷ 50 = 20; dokładna odpowiedź to około 20,4. Zaokrąglając dzielnik, zwróć uwagę na kierunek: mniejszy dzielnik daje większy wynik, a większy dzielnik mniejszy.

Dzielenie jako ułamek

Zapisanie dzielenia w postaci ułamka zwykłego i uproszczenie często ujawnia odpowiedź. 150 ÷ 40 to 150/40, co upraszcza do 15/4, a 15/4 to 3,75. 210 ÷ 35 staje się 42/7 po podzieleniu obu liczb przez 5, czyli 6. Jest to ten sam ruch, co upraszczanie przed dzieleniem, ale zapisanie go w formie ułamka ułatwia dostrzeżenie wspólnych czynników.

Sprawdź, mnożąc ponownie

Do każdego dzielenia dołączona jest bezpłatna kontrola: pomnóż wynik przez dzielnik. Jeśli 924 ÷ 7 = 132, to 132 × 7 powinno dać 924 i tak się dzieje: 700 + 210 + 14 = 924. Sprawdzenie trwa sekundy i ćwiczy także mnożenie, od którego zależy dzielenie.

Ćwicz dzielenie wraz z mnożeniem

Ponieważ te dwie operacje mają ze sobą wiele wspólnego, wspólne ich ćwiczenie ma sens. Zamiast zostawiać je na koniec, włącz problemy związane z dzieleniem do praktyki mnożenia, a gdy fakt dzielenia jest powolny, przećwicz odpowiednie mnożenie. Rohrer i Taylor odkryli, że mieszanie typów problemów podczas ćwiczeń pomogło w późniejszych wynikach w porównaniu z ćwiczeniem jednego rodzaju problemów na raz.

Gdzie pasuje Numvolt

Numvolt obejmuje dzielenie wraz z dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem w trybie Zen bez timera, gdzie każda zła odpowiedź pokazuje metodę korekty, oraz w rundach czasowych trwających 15, 30 lub 60 sekund. W przypadku reszt i ułamków dziesiętnych dobrą dodatkową praktyką są rachunki codzienne, ceny jednostkowe i koszty dzielone.

Więcej informacji

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science