كيفية تقسيم الأرقام في رأسك، مع أمثلة عملية

القسمة هي الضرب إلى الوراء

العديد من الناس يحلون عملية القسمة البسيطة من خلال التفكير في عملية الضرب: 56 ÷ 7 هو الرقم الذي إذا ضرب في 7 يعطينا 56. وجدت دراسة كامبل لطلاب الجامعة أن أوقات الاستجابة لمطابقة مسائل القسمة والضرب كانت مترابطة بشكل كبير، وتشير نتائجه إلى أن الضرب غالبا ما يستخدم على الأقل للتحقق من القسمة. والنتيجة العملية بسيطة: حقائق الضرب الموثوقة هي أساس القسمة الذهنية، وأي فجوة فيها تظهر مرتين.

اطرح سؤال العامل المفقود

في 72 ÷ 8، اسأل ما هو ضرب 8 في 72. في 144 ÷ 12، اسأل ما هو ضرب 12 في 144. تقسيم الصياغة بهذه الطريقة يحولها إلى تذكر عندما تكون الحقيقة معروفة، وإلى بحث قصير حول حقيقة معروفة عندما لا تكون كذلك: إذا كنت تعرف أن 8 × 10 = 80، فإن 72 أقل بـ 8، وبالتالي فإن الإجابة هي 9.

تبسيط قبل القسمة

إن قسمة الرقمين على نفس العامل لا يغير الإجابة، وغالبًا ما يجعل المشكلة تافهة. بالنسبة إلى 144 ÷ 36، اقسم كليهما على 9 لتحصل على 16 ÷ 4 = 4. بالنسبة إلى 630 ÷ 15، ضاعف كلاهما لتحصل على 1260 ÷ 30، وهو ما يساوي 42. المضاعفة مشروعة مثل النصف؛ الهدف هو المقسوم الذي يسهل التعامل معه.

النصف المتكرر لـ 2 و 4 و 8 و 16

القسمة على 4 تعني النصف مرتين، وعلى 8 تنصيف ثلاث مرات، وعلى 16 تنصيف أربع مرات. 184 ÷ 8: 92، 46، 23. 1000 ÷ 16: 500، 250، 125، 62.5. تحتوي كل خطوة على رقم واحد فقط، وهذا هو السبب في أن النصف المتكرر يكون لطيفًا على الذاكرة العاملة، وهو المصدر الذي حدده ديستيفانو وليفيفر باعتباره عنق الزجاجة في الحساب الذهني، حتى عندما لا تكون النتيجة عددًا صحيحًا.

القسمة على 5 و 25 و 125

هذه المقسومات أسهل مثل الضرب. القسمة على 5 هي ضرب في 2 وقسمة على 10: 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. القسمة على 25 هي ضرب في 4 وقسمة على 100: 475 ÷ 25 = 1900 ÷ 100 = 19. القسمة على 125 هي ضرب في 8 والقسمة على 1000: 3000 ÷ 125 = 24000 ÷ 1000 = 24. يعمل هذا النمط لأن 5 × 2 = 10، و25 × 4 = 100، و125 × 8 = 1000.

تقسيم الأعداد الكبيرة إلى أجزاء

بالنسبة إلى 924 ÷ 7، احذف المضاعفات السهلة للعدد 7 واحدًا تلو الآخر. 7 × 100 = 700 ورقة 224. 7 × 30 = 210 ورقة 14. 7 × 2 = 14 لا يترك شيئًا. أضف القطع: 100 + 30 + 2 = 132. التقسيم إلى أجزاء هو النسخة الذهنية من القسمة المطولة، ولكن مع القطع التي تختارها للراحة بدلًا من رقم واحد في كل مرة، حتى تتمكن من إخراج 50 أو 200 من المقسوم عليه كلما كان ذلك أسهل.

تقدير الحاصل أولا

قبل إجراء القسمة الدقيقة، قم بالتقريب إلى مسألة يمكنك حلها. 4870 ÷ 62 يساوي تقريبًا 4800 ÷ 60، أي 80. الإجابة الدقيقة هي 78.5 لأقرب رقم عشري واحد. يخبرك التقدير بحجم الإجابة ويلتقط قيمة مكانية متراجعة. ويمكنه أيضًا أن يخبرك باتجاه الخطأ: هنا تم تقريب المقسوم عليه لأسفل بشكل متناسب أكبر من المقسوم، لذا يجب أن تكون الإجابة الصحيحة أقل بقليل من 80، وهي كذلك.

اختبار قابلية القسمة بسرعة

تخبرك بعض القواعد ما إذا كان القسم سيكتمل أم لا. يكون الرقم قابلاً للقسمة على 2 إذا كان ينتهي برقم زوجي، وعلى 5 إذا كان ينتهي بـ 0 أو 5، وعلى 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3، وعلى 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9، وعلى 4 إذا كان آخر رقمين منه من مضاعف 4. 4,017 لديه مجموع أرقام 12، لذا فهو قابل للقسمة على 3: 4,017 ÷ 3 = 1,339. هذه القواعد هي أيضًا الطريقة التي يمكنك من خلالها العثور على عامل مشترك للتبسيط.

البقايا وماذا تفعل معهم

العديد من الانقسامات لا تخرج كاملة. 100 ÷ 7 هو 14 مع الباقي 2، لأن 7 × 14 = 98. سواء كنت بحاجة إلى الباقي، تعتمد الإجابة العشرية أو المقربة على السؤال: 100 كرسي مرتبة في صفوف من 7 تجعل 14 صفًا كاملاً مع كرسيين متبقيين، في حين أن مبلغ 100 المشترك بين 7 أشخاص يعطي حوالي 14.29 لكل منهما.

تحويل الباقي إلى أعداد عشرية

معرفة بعض الكسور ككسور عشرية يجعل الباقي أمرًا سهلاً. 45 ÷ 8 يساوي 5 والباقي 5، و5/8 يساوي 0.625، إذن 45 ÷ 8 = 5.625. جدير بالمعرفة: النصفان 0.5، والربعان 0.25 و0.75، والأثمان ترتفع بخطوات 0.125، والأخماس بخطوات 0.2، والسابع حوالي 0.143. بالنسبة للمقسومات الأخرى، تابع القسمة بإضافة صفر إلى الباقي: 2 ÷ 7 يصبح 20 ÷ 7 = 2 والباقي 6، وبالتالي فإن العلامة العشرية الأولى هي 2، وهكذا.

القسمة على أرقام قريبة من الجولة الأولى

القسمة على 49 أو 51 تقترب من القسمة على 50، وغالبًا ما تكون الإجابة المقربة كافية. 1000 ÷ 49 يزيد قليلاً عن 1000 ÷ 50 = 20؛ الجواب الدقيق هو حوالي 20.4. عندما تقوم بتقريب المقسوم عليه، لاحظ الاتجاه: المقسوم الأصغر يعطي نتيجة أكبر، والمقسوم الأكبر يعطي نتيجة أصغر.

القسمة ككسر

إن كتابة القسمة في صورة كسر وتبسيطها غالبًا ما يكشف عن الإجابة. 150 ÷ 40 يساوي 150/40، وهو ما يمكن تبسيطه إلى 15/4، و15/4 يساوي 3.75. 210 ÷ 35 يصبح 42/7 بمجرد قسمة كلا الرقمين على 5، أي 6. هذه هي نفس حركة التبسيط قبل القسمة، لكن كتابتها في صورة كسر تسهل رؤية العوامل المشتركة.

تحقق عن طريق الضرب مرة أخرى

كل قسمة تأتي مع فحص مجاني: اضرب الإجابة بالمقسوم عليه. إذا كان 924 ÷ 7 = 132، فإن 132 × 7 يجب أن يعطي 924، وهو ما يلي: 700 + 210 + 14 = 924. يستغرق التحقق ثوانٍ، كما أنه يتدرب على الضرب الذي تعتمد عليه القسمة.

ممارسة القسمة جنبا إلى جنب مع الضرب

نظرًا لأن العمليتين تشتركان في الكثير، فإن ممارستهما معًا أمر منطقي. امزج مسائل القسمة في ممارسة الضرب بدلاً من تركها حتى النهاية، وعندما تكون حقيقة القسمة بطيئة، تدرب على الضرب المطابق. وجد روهرر وتايلور أن المزج بين أنواع المشكلات أثناء التدريب ساعد على الأداء لاحقًا مقارنةً بممارسة نوع واحد في كل مرة.

حيث يناسب Numvolt

يتضمن Numvolt القسمة جنبًا إلى جنب مع الجمع والطرح والضرب، في وضع Zen بدون مؤقت، حيث تظهر كل إجابة خاطئة طريقة التصحيح، وفي جولات زمنية مدتها 15 أو 30 أو 60 ثانية. بالنسبة للبواقي والكسور العشرية، تعتبر الفواتير اليومية وأسعار الوحدات والتكاليف المشتركة ممارسة إضافية جيدة.

للمزيد

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science