Faire une division de tête, avec des exemples

La division, c’est la multiplication à l’envers

Beaucoup de gens résolvent une division simple en pensant à une multiplication : 56 ÷ 7, c’est le nombre qui, multiplié par 7, donne 56. L’étude de Campbell auprès d’étudiants a trouvé que les temps de réponse aux divisions et aux multiplications correspondantes étaient fortement corrélés, et ses résultats suggèrent que la multiplication sert souvent au moins à vérifier la division. La conséquence pratique est simple : des tables de multiplication sûres sont le socle de la division mentale, et chaque trou dans ces tables se paie deux fois.

Poser la question du facteur manquant

Pour 72 ÷ 8, demande-toi combien de fois 8 font 72. Pour 144 ÷ 12, combien de fois 12 font 144. Formuler la division ainsi la transforme en rappel quand le fait est connu, et en courte recherche autour d’un fait connu quand il ne l’est pas : si tu sais que 8 × 10 = 80, alors 72, c’est un 8 de moins, donc la réponse est 9.

Simplifier avant de diviser

Diviser les deux nombres par le même facteur ne change pas le résultat, et cela rend souvent le problème trivial. Pour 144 ÷ 36, divise les deux par 9 pour obtenir 16 ÷ 4 = 4. Pour 630 ÷ 15, double les deux pour obtenir 1 260 ÷ 30, soit 42. Doubler est aussi légitime que diviser par deux ; le but est d’obtenir un diviseur facile à manier.

Diviser par 2, 4, 8 et 16 en chaîne

Diviser par 4, c’est diviser deux fois par deux ; par 8, trois fois ; par 16, quatre fois. 184 ÷ 8 : 92, 46, 23. 1 000 ÷ 16 : 500, 250, 125, 62,5. Chaque étape ne retient qu’un nombre, c’est pourquoi ces chaînes ménagent la mémoire de travail, que DeStefano et LeFevre désignent comme le goulot d’étranglement du calcul mental, même quand le résultat n’est pas entier.

Diviser par 5, 25 et 125

Ces diviseurs sont plus simples sous forme de multiplications. Diviser par 5, c’est multiplier par 2 et diviser par 10 : 350 ÷ 5 = 700 ÷ 10 = 70. Diviser par 25, c’est multiplier par 4 et diviser par 100 : 475 ÷ 25 = 1 900 ÷ 100 = 19. Diviser par 125, c’est multiplier par 8 et diviser par 1 000 : 3 000 ÷ 125 = 24 000 ÷ 1 000 = 24. Le principe fonctionne parce que 5 × 2 = 10, 25 × 4 = 100 et 125 × 8 = 1 000.

Diviser par morceaux

Pour 924 ÷ 7, retire un à un des multiples faciles de 7. 7 × 100 = 700 laisse 224. 7 × 30 = 210 laisse 14. 7 × 2 = 14 ne laisse rien. Additionne les morceaux : 100 + 30 + 2 = 132. C’est la version mentale de la division posée, mais avec des morceaux choisis par commodité plutôt qu’un chiffre à la fois, si bien que tu peux retirer 50 ou 200 fois le diviseur dès que c’est plus simple.

Estimer le quotient d’abord

Avant une division exacte, arrondis vers un problème que tu sais faire. 4 870 ÷ 62, c’est à peu près 4 800 ÷ 60, soit 80. Le résultat exact est 78,5 à une décimale près. L’estimation te donne la taille du résultat et attrape un rang décalé. Elle peut aussi indiquer le sens de l’erreur : ici, le diviseur a été arrondi vers le bas proportionnellement plus que le dividende, donc le vrai résultat doit être un peu sous 80, et c’est le cas.

Tester la divisibilité rapidement

Quelques règles disent si une division tombera juste. Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4. 4 017 a une somme des chiffres de 12, donc il est divisible par 3 : 4 017 ÷ 3 = 1 339. Ces règles servent aussi à trouver un facteur commun pour simplifier.

Les restes, et quoi en faire

Beaucoup de divisions ne tombent pas juste. 100 ÷ 7 font 14, reste 2, car 7 × 14 = 98. Qu’il faille le reste, un nombre décimal ou un arrondi dépend de la question : 100 chaises disposées en rangées de 7 font 14 rangées complètes et 2 chaises de trop, alors qu’un montant de 100 partagé entre 7 personnes donne environ 14,29 chacune.

Transformer un reste en décimales

Connaître quelques fractions en décimales rend les restes faciles. 45 ÷ 8 font 5, reste 5, et 5/8 vaut 0,625, donc 45 ÷ 8 = 5,625. À retenir : les demis valent 0,5, les quarts 0,25 et 0,75, les huitièmes avancent par pas de 0,125, les cinquièmes par pas de 0,2, et un septième vaut environ 0,143. Pour les autres diviseurs, poursuis la division en ajoutant un zéro au reste : 2 ÷ 7 devient 20 ÷ 7 = 2, reste 6, donc la première décimale est 2, et ainsi de suite.

Diviser par un nombre proche d’un nombre rond

Diviser par 49 ou 51, c’est presque diviser par 50, et le résultat arrondi suffit souvent. 1 000 ÷ 49 donne un peu plus que 1 000 ÷ 50 = 20 ; le résultat exact est d’environ 20,4. Quand tu arrondis un diviseur, note le sens : un diviseur plus petit donne un résultat plus grand, et un diviseur plus grand un résultat plus petit.

La division comme fraction

Écrire une division sous forme de fraction et simplifier fait souvent apparaître la réponse. 150 ÷ 40, c’est 150/40, qui se simplifie en 15/4, et 15/4 vaut 3,75. 210 ÷ 35 devient 42/7 une fois les deux nombres divisés par 5, soit 6. C’est le même geste que simplifier avant de diviser, mais l’écriture en fraction rend les facteurs communs plus faciles à voir.

Vérifier en remultipliant

Chaque division vient avec une vérification gratuite : multiplie le résultat par le diviseur. Si 924 ÷ 7 = 132, alors 132 × 7 doit donner 924, et c’est le cas : 700 + 210 + 14 = 924. La vérification prend quelques secondes, et elle fait répéter au passage la multiplication dont dépend la division.

Travailler la division avec la multiplication

Comme les deux opérations ont tant en commun, les travailler ensemble a du sens. Mêle des divisions à tes séances de multiplication plutôt que de les garder pour la fin, et quand une division est lente, entraîne la multiplication correspondante. Rohrer et Taylor ont constaté que mélanger les types de problèmes à l’entraînement améliorait les performances ultérieures par rapport à un entraînement type par type.

La place de Numvolt

Numvolt inclut la division à côté de l’addition, de la soustraction et de la multiplication, en mode Zen sans chronomètre, où chaque réponse fausse montre la méthode derrière la correction, et en sprints chronométrés de 15, 30 ou 60 secondes. Pour les restes et les décimales, les additions au restaurant, les prix au kilo et les dépenses partagées font un bon entraînement complémentaire.

Pour approfondir

• Campbell (1997), On the relation between skilled performance of simple division and multiplication, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition
• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science