Calculer un pourcentage de tête, étape par étape

Un pourcentage est une fraction de 100

Pour cent veut dire sur cent. 15 % d’une quantité, ce sont 15 centièmes de cette quantité : toute question de pourcentage est donc une multiplication par une petite fraction. Ce qui rend les pourcentages difficiles de tête, c’est rarement le principe. C’est que multiplier directement par 0,15 oblige à tenir plusieurs résultats intermédiaires à la fois, et la synthèse de DeStefano et LeFevre sur la mémoire de travail en calcul mental décrit précisément ce maintien comme l’étape coûteuse. Toutes les méthodes qui suivent font la même chose : elles remplacent une multiplication pénible par deux ou trois multiplications faciles dont tu peux garder les résultats.

Commencer par 10 %

Dix pour cent sert d’ancre à tout le reste, parce que le trouver revient à déplacer la virgule d’un rang vers la gauche. 10 % de 340, c’est 34. 10 % de 72, c’est 7,2. 10 % de 6 500, c’est 650. Rends cette étape automatique avant toute autre, et dis le résultat à voix haute si ça t’aide à le garder. La plupart des erreurs de pourcentage faites de tête sont des erreurs de rang, un résultat dix fois trop grand ou trop petit, plutôt que des erreurs de calcul.

Puis 5 % et 1 %

Cinq pour cent, c’est la moitié de dix pour cent, et un pour cent, c’est dix pour cent divisé encore par dix. En partant de 340 : 10 % font 34, 5 % font 17 et 1 % fait 3,4. Avec ces trois briques, tu peux assembler presque n’importe quel pourcentage entier par additions et soustractions. 15 % de 340, c’est 34 + 17 = 51. 20 %, c’est 34 × 2 = 68. 9 %, c’est 34 − 3,4 = 30,6. Rien ici ne demande plus que diviser par deux et déplacer une virgule.

Construire les pourcentages difficiles avec des briques

Prends 17 % de 250. Découpe 17 en 10 + 5 + 2. Dix pour cent de 250 font 25, cinq pour cent font 12,5 et deux pour cent font 5 : le total est 25 + 12,5 + 5 = 42,5. Le même découpage marche pour tout pourcentage ; choisis celui qui demande le moins d’étapes. 19 % se calcule en général plus vite comme 20 % moins 1 % que comme 10 % + 5 % + 4 %. Estime d’abord : 17 %, c’est un peu moins d’un cinquième, et un cinquième de 250 fait 50, donc un résultat proche de 42 est plausible, alors que 4,25 ou 425 ne le sont pas.

Inverser les nombres quand l’un est plus simple

x % de y est toujours égal à y % de x, parce que les deux valent x × y ÷ 100. Certains problèmes pénibles deviennent ainsi triviaux. 8 % de 25, c’est pareil que 25 % de 8, soit 2. 16 % de 50, c’est 50 % de 16, soit 8. 12 % de 75, c’est 75 % de 12, soit 9. Chaque fois que l’un des deux nombres est un pourcentage commode comme 50, 25, 20 ou 10, essaie l’inversion avant toute autre chose.

Connaître quelques fractions par cœur

Certains pourcentages vont plus vite en fractions. 50 %, c’est une moitié, 25 % un quart, 20 % un cinquième, 12,5 % un huitième, et 33,3 % environ un tiers. Ainsi 25 % de 88 font 88 ÷ 4 = 22, et 12,5 % de 64 font 64 ÷ 8 = 8. Pas besoin d’une longue table. La poignée de fractions qui correspondent à diviser par deux, par quatre et par cinq couvre la plupart des cas courants, et elles servent aussi à vérifier la méthode des briques.

Remises : calculer ce que tu paies

Une remise de 30 % sur 64 signifie que tu paies 70 % de 64. Tu peux calculer la remise puis la soustraire, puisque 30 % de 64 font 19,2 et que 64 − 19,2 = 44,8, ou aller directement à ce que tu paies : 70 % de 64, c’est 7 × 6,4 = 44,8. La seconde voie a une étape de moins et évite une soustraction avec décimales, là où se cachent beaucoup d’erreurs. La même idée vaut pour toute réduction : une remise de 15 % signifie payer 85 %.

Deux remises ne s’additionnent pas

Une remise de 20 % suivie d’une remise supplémentaire de 10 % n’est pas une remise de 30 %. Tu paies 80 % du prix, puis 90 % de ce montant, soit 0,8 × 0,9 = 0,72 du prix de départ : une réduction de 28 %. Sur un prix de 50, tu paies 36 et non 35. L’écart est faible à ces niveaux et grandit avec les pourcentages plus élevés, et c’est l’erreur la plus fréquente face aux offres cumulées. Multiplie les coefficients ; n’additionne jamais les pourcentages.

Le pourboire sans calculatrice

Pour un pourboire de 15 % sur une addition de 46, prends 10 %, soit 4,6, ajoute sa moitié, 2,3, et tu obtiens 6,9. Pour 20 %, double les 10 % : 9,2. Pour 18 %, prends 20 % et retire deux fois 1 % : 1 % vaut 0,46, donc 9,2 − 0,92 = 8,28, que tu peux arrondir à un montant pratique. Si l’exactitude n’importe pas, arrondis d’abord l’addition : 15 % de 50 font 7,5, une borne haute rapide pour le pourboire sur 46.

Ajouter une taxe ou un supplément

Pour ajouter 20 % à 85, tu peux calculer les 20 % à part et les ajouter, 85 + 17 = 102, ou multiplier d’un coup par 1,2 : 85 × 1,2 = 102. Les deux conviennent. Ce qui compte, c’est de choisir une routine et de t’y tenir. La vision par coefficient multiplicateur devient payante quand plusieurs variations s’enchaînent, parce que tu peux multiplier les coefficients entre eux exactement comme pour les remises, et elle prépare au problème inverse ci-dessous.

Pourcentages inverses : retrouver le prix de départ

Si un prix taxe de 20 % comprise vaut 96, le prix hors taxe n’est pas 96 moins 20 % de 96. On obtiendrait 76,8, et ajouter 20 % à 76,8 donne 92,16, pas 96. Le prix taxe comprise représente 120 % du prix de départ, donc divise par 1,2 : 96 ÷ 1,2 = 80. Vérifie : 20 % de 80 font 16, et 80 + 16 = 96. C’est dans les pourcentages inverses que le raccourci mental donne le plus souvent une réponse fausse avec aplomb : vérifie toujours en refaisant le calcul dans l’autre sens.

La variation en pourcentage

Passer de 80 à 92, c’est une hausse de 12, et 12 sur 80 font 15 %. Descendre de 120 à 90, c’est une baisse de 30, et 30 sur 120 font 25 %. La base est toujours la valeur de départ. C’est pourquoi une hausse de 25 % suivie d’une baisse de 25 % ne ramène pas au point de départ : 100 devient 125, 25 % de 125 font 31,25, et 125 − 31,25 laisse 93,75.

Pour cent ou points de pourcentage

Si un taux passe de 4 % à 5 %, il a augmenté d’un point de pourcentage, et de 25 % en valeur relative, puisque 1 est le quart de 4. Articles de presse, offres de prêt et résultats de sondages confondent sans cesse les deux, parfois par accident, parfois parce que le chiffre le plus impressionnant arrange. Quand on te parle de la variation d’un taux, demande-toi lequel des deux est en jeu avant de juger si elle est importante.

Travailler les briques, pas les astuces

Le moyen le plus rapide d’être à l’aise est d’entraîner les briques jusqu’à ce qu’elles ne demandent plus d’effort : 10 %, 5 % et 1 % de nombres variés, et quelques inversions. Des séances courtes et fréquentes, réparties sur plusieurs jours, sont en général mieux retenues qu’une longue séance unique : c’est ce que Cepeda et ses collègues ont constaté dans de nombreuses études sur la pratique espacée. Mélange les pourcentages avec d’autres opérations plutôt que d’en enchaîner vingt, pour t’entraîner aussi à reconnaître la méthode qu’un problème demande.

La place de Numvolt

Les séances de Numvolt entraînent les quatre opérations dans lesquelles se décompose chaque méthode de pourcentage ci-dessus : addition, soustraction, multiplication et division. Le mode Zen n’a pas de chronomètre et montre la méthode derrière chaque correction, ce qui convient au moment où les briques s’apprennent encore, et les sprints chronométrés de 15, 30 ou 60 secondes montrent si les étapes sont devenues rapides. Pour les pourcentages eux-mêmes, les tickets de caisse, les additions et les étiquettes d’une semaine ordinaire restent le meilleur matériau d’entraînement.

Pour approfondir

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Cepeda et al. (2006), Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin