Πώς να πολλαπλασιάσετε διψήφιους αριθμούς στο κεφάλι σας

Γιατί τα διψήφια προϊόντα είναι δύσκολα

Ένα μονοψήφιο γινόμενο όπως το 7 × 8 συνήθως ανακτάται από τη μνήμη αντί να υπολογίζεται. Τα διψήφια προϊόντα δεν είναι σχεδόν ποτέ, επομένως πρέπει να υπολογίζετε και ο υπολογισμός στο κεφάλι σημαίνει ότι διατηρείτε μερικά αποτελέσματα ενώ δημιουργείτε το επόμενο. Η κριτική των DeStefano και LeFevre περιγράφει τη μνήμη εργασίας ως το σημείο συμφόρησης της νοητικής αριθμητικής και ο πολυψήφιος πολλαπλασιασμός τη φορτώνει πολύ. Κάθε μέθοδος παρακάτω μειώνει την ποσότητα που κρατάτε ταυτόχρονα. Κανένα από αυτά δεν είναι καλύτερο για κάθε ζευγάρι. η ικανότητα είναι να επιλέξετε αυτό που ταιριάζει στους αριθμούς που έχετε μπροστά σας.

Ξεκινήστε με έναν αριθμό επί ένα μονοψήφιο

Πριν από δύο ψηφία επί δύο ψηφία, κάντε αυτόματους μονοψήφιους πολλαπλασιαστές. Το 47 × 6 είναι 40 × 6 συν 7 × 6, άρα 240 + 42 = 282. Δουλεύοντας από τις δεκάδες πρώτα, από αριστερά προς τα δεξιά, σας δίνει το μεγάλο μέρος της απάντησης νωρίς, το οποίο είναι επίσης το πιο σημαντικό μέρος αν σας διακόψουν. Αυτό το μόνο βήμα είναι το δομικό στοιχείο κάθε μεθόδου που ακολουθεί.

Μέθοδος 1: χωρίστε έναν αριθμό

Η γενική μέθοδος είναι να χωρίσουμε έναν παράγοντα σε δεκάδες και μονάδες και να πολλαπλασιάσουμε κάθε μέρος. Για 34 × 27, χωρίστε το 27 σε 20 και 7: 34 × 20 = 680 και 34 × 7 = 238. Στη συνέχεια, 680 + 238 = 918. Κρατάτε μόνο ένα τρέχον σύνολο και ένα νέο μερικό προϊόν, γι' αυτό αυτή η μέθοδος λειτουργεί για οποιοδήποτε ζευγάρι. Διαχωρίστε όποιο αριθμό δίνει τα ευκολότερα μερικώς γινόμενα. Το σπάσιμο στα μέρη 34 σε 30 και 4 θα λειτουργούσε επίσης, δίνοντας 810 + 108 = 918.

Υπολογίστε πριν υπολογίσετε

Πριν ξεκινήσετε, στρογγυλοποιήστε και τους δύο αριθμούς: το 34 × 27 είναι κοντά στο 30 × 30, επομένως η απάντηση θα πρέπει να είναι κοντά στο 900. Αυτό διαρκεί ένα δευτερόλεπτο και συλλαμβάνει τα χειρότερα σφάλματα, όπως το αποτέλεσμα του 9.180 ή του 91,8 που προκαλείται από μια ολίσθηση της τιμής θέσης. Δίνει επίσης την προσοχή σας έναν στόχο, οπότε η τελική προσθήκη μοιάζει σαν επιβεβαίωση και όχι σαν άλμα.

Μέθοδος δεύτερη: στρογγυλή και σωστή

Όταν ένας παράγοντας είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό, πολλαπλασιάστε με τον στρογγυλό αριθμό και μετά διορθώστε. 29 × 34 είναι 30 × 34 μείον ένα 34: 1.020 − 34 = 986. 48 × 15 είναι 50 × 15 μείον 2 × 15: 750 − 30 = 720. Η διόρθωση είναι συνήθως ένας μικρός πολλαπλασιασμός και το στρογγυλό γινόμενο. Η μέθοδος εξοικονομεί τα μέγιστα όταν ο παράγοντας βρίσκεται ένα ή δύο μακριά από ένα πολλαπλάσιο του δέκα.

Όταν η στρογγυλοποίηση είναι λάθος κίνηση

Το στρογγυλό και σωστό χάνει το πλεονέκτημά του όταν η ίδια η διόρθωση είναι μεγάλη. Το 36 × 47 στρογγυλοποιημένο σε 36 × 50 χρειάζεται διόρθωση 36 × 3 = 108, δίνοντας 1.800 − 108 = 1.692. Αυτό λειτουργεί, αλλά το σπάσιμο σε μέρη, 36 × 40 + 36 × 7 = 1.440 + 252 = 1.692, δεν είναι πιο αργό και δεν περιλαμβάνει αφαίρεση. Κατά γενικό κανόνα, στρογγυλοποιήστε όταν η απόσταση από τον αριθμό του γύρου είναι ένα ή δύο και διαχωρίστε διαφορετικά.

Μέθοδος τρίτη: η διαφορά των τετραγώνων

Όταν δύο αριθμοί βρίσκονται σε ίση απόσταση από τις δύο πλευρές ενός στρογγυλού αριθμού, το γινόμενο τους είναι το τετράγωνο του μεσαίου αριθμού μείον το τετράγωνο της απόστασης. Αυτό προέρχεται από την ταυτότητα (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 είναι 50² − 2² = 2.500 − 4 = 2.496. 37 × 43 είναι 40² − 3² = 1.600 − 9 = 1.591. 46 × 54 είναι 2.500 − 16 = 2.484. Η μέθοδος χρειάζεται μόνο τα τετράγωνα των στρογγυλών αριθμών, που είναι εύκολα, και τα τετράγωνα από το 1 έως το 9, που ήδη γνωρίζετε.

Όταν το ζεύγος δεν είναι συμμετρικό

Εάν οι δύο αριθμοί δεν βρίσκονται στην ίδια απόσταση από μια στρογγυλή μέση, η ιδέα εξακολουθεί να λειτουργεί με μια μικρή διόρθωση. 47 × 52 είναι 47 × 53 μείον 47, και 47 × 53 είναι 50² − 3² = 2.491, άρα η απάντηση είναι 2.491 − 47 = 2.444. Το αν αυτό ξεπερνά το σπάσιμο σε μέρη εξαρτάται από το άτομο. Δοκιμάστε και τα δύο για το ίδιο πρόβλημα και κρατήστε αυτό που σας φαίνεται πιο ελαφρύ.

Μέθοδος τέταρτη: αριθμοί λίγο κάτω από το 100

Για δύο αριθμούς κοντά στο 100, δουλέψτε πόσο μακριά είναι ο καθένας κάτω από το 100. Για 96 × 97, οι αποστάσεις είναι 4 και 3. Αφαιρέστε τη μία απόσταση από τον άλλο αριθμό: 96 − 3 = 93, που δίνει τα δύο πρώτα ψηφία. Πολλαπλασιάστε τις αποστάσεις: 4 × 3 = 12, που δίνει τα δύο τελευταία ψηφία. Η απάντηση είναι 9.312. Το ίδιο μοτίβο λειτουργεί πάνω από 100: για 103 × 107, προσθέστε 103 + 7 = 110 και πολλαπλασιάστε 3 × 7 = 21, δίνοντας 11.021. Αν το γινόμενο των αποστάσεων έχει μόνο ένα ψηφίο, γράψτε το με μηδενικό: 98 × 97 δίνει 95 και 06, άρα 9.506.

Γιατί η μέθοδος σχεδόν 100 λειτουργεί

Είναι η ίδια άλγεβρα με το σπάσιμο σε μέρη, τακτοποιημένα ώστε να εκμεταλλεύονται τον στρογγυλό αριθμό: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. Το πρώτο μέρος μετράει τις εκατοντάδες και το δεύτερο μέρος είναι αυτό που μένει. Το να καταλάβετε γιατί λειτουργεί έχει μεγαλύτερη σημασία από το να το απομνημονεύσετε. Μια μέθοδος που καταλαβαίνετε μπορεί να προσαρμοστεί, για παράδειγμα σε αριθμούς κοντά στο 50 ή κοντά στο 1.000, ενώ ένα απομνημονευμένο κόλπο σπάει την πρώτη φορά που αλλάζουν οι αριθμοί.

Η μέθοδος σταυρού

Μια άλλη γενική μέθοδος λειτουργεί στήλη προς στήλη. Για 43 × 21, οι εκατοντάδες είναι 4 × 2 = 8, οι δεκάδες είναι 4 × 1 + 3 × 2 = 10 και οι μονάδες είναι 3 × 1 = 3. Συνδυάστε τες: 800 + 100 + 3 = 903. Είναι ο γραπτός αλγόριθμος που ταιριάζει με το κεφάλι σας. Η αδυναμία του εμφανίζεται όταν το μεσαίο σύνολο είναι μεγάλο και φτάνει τις εκατοντάδες, γιατί πρέπει να το κρατάτε ενώ συνδυάζετε, το οποίο είναι ακριβώς το φορτίο που αποφεύγουν οι άλλες μέθοδοι.

Επιλογή μεθόδου σε δύο δευτερόλεπτα

Κοιτάξτε το ζευγάρι πριν ξεκινήσετε. Ίση απόσταση από έναν στρογγυλό αριθμό: διαφορά τετραγώνων. Ένας αριθμός δίπλα σε πολλαπλάσιο του δέκα: στρογγυλός και σωστός. Και τα δύο κοντά στο 100: η μέθοδος κοντά στο 100. Οτιδήποτε άλλο: σπάστε τον πιο εύκολο αριθμό. Αυτή η επιλογή είναι από μόνη της μια δεξιότητα και αναπτύσσεται καλύτερα σε μικτά προβλήματα παρά σε είκοσι του ίδιου είδους. Οι Rohrer και Taylor διαπίστωσαν ότι η ανακάτεμα των τύπων προβλημάτων κατά τη διάρκεια της εξάσκησης βελτίωσε την απόδοση των δοκιμών αργότερα σε σύγκριση με την εξάσκηση ενός τύπου κάθε φορά.

Ελέγξτε την απάντηση φτηνά

Δύο έλεγχοι χρειάζονται ένα δεύτερο ο καθένας. Το τελευταίο ψηφίο: 34 × 27 πρέπει να τελειώνει σε 8, γιατί 4 × 7 = 28. Το μέγεθος: η εκτίμηση του 900 λέει ότι το 918 είναι εύλογο. Κανένας από τους δύο ελέγχους δεν αποδεικνύει τη σωστή απάντηση, αλλά μαζί πιάνουν τις περισσότερες ολισθήσεις και είναι αρκετά γρήγοροι για χρήση κάθε φορά.

Πρώτα η ακρίβεια και μετά η ταχύτητα

Η πίεση του χρόνου ωθεί τους ανθρώπους πίσω στην πιο αργή, πιο οικεία μέθοδο τους. Εργαστείτε χωρίς χρονοδιακόπτη έως ότου η επιλογή μιας μεθόδου είναι αυτόματη και, στη συνέχεια, προσθέστε ένα ρολόι. Όταν αντιμετωπίζετε λάθος ένα πρόβλημα, επαναλάβετε το ίδιο πρόβλημα σωστά αμέσως αντί να προχωρήσετε, έτσι ώστε η τελευταία έκδοση που θα κάνετε πρόβα να είναι η σωστή.

Όπου ταιριάζει το Numvolt

Οι συνεδρίες πολλαπλασιασμού του Numvolt σας δίνουν προβλήματα για να εξασκηθείτε στην επιλογή της μεθόδου. Στη λειτουργία Zen δεν υπάρχει χρονόμετρο και μια λάθος απάντηση δείχνει τη μέθοδο πίσω από τη διόρθωση, που είναι η στιγμή για να συγκρίνετε τη διαδρομή σας με μια άλλη. Οι χρονομετρημένοι γύροι των 15, 30 ή 60 δευτερολέπτων δείχνουν αν η μέθοδος ισχύει κάτω από ένα ρολόι και ένας αγώνας δύο παικτών στο ένα iPhone μετατρέπει τα ίδια προβλήματα σε παιχνίδι με κάποιον άλλο.

Περαιτέρω ανάγνωση

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science