如何在腦中計算兩位數的乘法

為什麼兩位數產品感覺很難

諸如 7 × 8 之類的個位數乘積通常是從記憶體中檢索而不是計算出來。兩位數乘積幾乎從來都不是，所以你必須計算，而在腦中計算意味著在產生下一個結果的同時保留部分結果。 DeStefano 和 LeFevre 的評論將工作記憶描述為心算的瓶頸，而多位數乘法對其造成了沉重負擔。下面的每種方法都會減少您一次持有的數量。它們中沒有一個是最適合每一對的；技巧是選擇適合你面前數字的。

從一個數字乘以一位數字開始

在兩位數乘兩位數之前，將單位數乘數設定為自動。 47 × 6 等於 40 × 6 加 7 × 6，所以 240 + 42 = 282。從十開始，從左到右，可以儘早得到答案的大部分，這也是當你被打斷時最重要的部分。這一步是後續每個方法的建構塊。

方法一：分解一個數

一般的方法是將一個因數分解為十個和個位，然後將每個部分相乘。對於 34 × 27，將 27 分成 20 和 7：34 × 20 = 680 和 34 × 7 = 238。然後 680 + 238 = 918。您只持有一個運行總和和一個新的部分乘積，這就是為什麼此方法適用於任何對。分解給出更容易的部分積的數字；將第 34 部分分解為 30 部分和 4 部分也可以，得到 810 + 108 = 918。

計算之前先估計一下

在開始之前，對兩個數字進行舍入：34 × 27 接近 30 × 30，因此答案應該接近 900。這需要一秒鐘的時間並捕捉最嚴重的錯誤，例如由於位值滑動而導致的結果 9,180 或 91.8。它還給你的注意力一個目標，所以最後的添加感覺像是一個確認而不是一個飛躍。

方法二：圓整

當一個因數接近整數時，乘以該整數然後修正。 29 × 34 是 30 × 34 減一 34：1,020 − 34 = 986。48 × 15 是 50 × 15 減 2 × 15：750 − 30 = 720。校正通常是一個小乘法，並且舍入乘積很快。當因子距離十的倍數一到二時，此方法可以節省最多的錢。

當四捨五入是錯誤的舉動時

當修正本身很大時，圓形和修正就失去了它的優勢。 36 × 47 四捨五入為 36 × 50 需要修正 36 × 3 = 108，得到 1,800 − 108 = 1,692。這是可行的，但分解為 36 × 40 + 36 × 7 = 1,440 + 252 = 1,692 部分並不慢，且不涉及減法。根據經驗，當到舍入數的距離為一或二時，捨入，否則分開。

方法三：平方差

當兩個數字位於一個整數兩側的距離相等時，它們的乘積是中間數字的平方減去距離的平方。這來自於恆等式 (a − b) × (a + b) = a² − b²。 48 × 52 等於 50² − 2² = 2,500 − 4 = 2,496。 37 × 43 等於 40² − 3² = 1,600 − 9 = 1,591。 46 × 54 是 2,500 − 16 = 2,484。方法只需要整數的平方，這很簡單，以及 1 到 9 的平方，這是你已經知道的。

當該對不對稱時

如果兩個數字到圓形中心的距離不一樣，這個想法仍然可以透過小修正來實現。 47 × 52 是 47 × 53 減 47，47 × 53 是 50² − 3² = 2,491，所以答案是 2,491 − 47 = 2,444。這是否比分解更好取決於人。嘗試解決同一個問題，並保留感覺較輕的一個。

方法四：100以下的數字

對於兩個接近 100 的數字，計算每個數字低於 100 的距離。對於 96 × 97，距離為 4 和 3。從另一個數字減去一個距離：96 − 3 = 93，得到前兩位數字。將距離相乘：4 × 3 = 12，得出最後兩位數字。答案是 9,312。同樣的模式適用於 100 以上：對於 103 × 107，加上 103 + 7 = 110，再乘以 3 × 7 = 21，得到 11,021。如果距離的乘積只有一位數字，則將其寫入前導零：98 × 97 給出 95 和 06，即 9,506。

為什麼近 100 方法有效

它與分解為相同的代數，被安排為利用整數：(100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b。第一部分數了數百，第二部分是剩下的。理解它為什麼起作用比記住它更重要。您所理解的方法可以進行調整，例如接近 50 或接近 1,000 的數字，而記住的技巧在數字第一次變化時就會失效。

交叉法

另一種通用方法逐列工作。對於 43 × 21，百位是 4 × 2 = 8，十位是 4 × 1 + 3 × 2 = 10，個位是 3 × 1 = 3。將它們組合起來：800 + 100 + 3 = 903。這是在腦中執行的書面演算法，適合喜歡固定套路的人。當中間總數很大並達到數百個時，它的弱點就會出現，因為你必須在組合時握住它，而這正是其他方法避免的負載。

兩秒內選擇方法

在開始之前先看看這對。與整數的距離相等：平方差。十的倍數旁邊的一個數字：四捨五入且正確。兩者都接近 100：接近 100 方法。其他：分解更容易的數字。這種選擇本身就是一種技能，它在混合問題上表現得最好，而不是在解決二十個同類問題上。羅勒和泰勒發現，與一次練習一種類型相比，在練習過程中調整問題類型可以提高以後的測驗成績。

便宜檢查答案

兩次檢查各需要一秒鐘。最後一位數字：34 × 27 必須以 8 結尾，因為 4 × 7 = 28。 大小：900 的估計表明 918 是合理的。這兩種檢查都不能證明答案是正確的，但它們一起發現了大多數錯誤，而且它們的速度足夠快，可以每次使用。

首先是精度，然後是速度

時間壓力迫使人們回到最慢、最熟悉的方法。在不使用計時器的情況下工作，直到自動選擇方法，然後新增時鐘。當你做錯一個問題時，立即正確地重做同一個問題，而不是繼續前進，這樣你排練的最後一個版本就是正確的版本。

Numvolt 適合的地方

Numvolt 的乘法課程為您提供了練習方法選擇的問題。在Zen模式下，沒有計時器，錯誤的答案會顯示更正背後的方法，這是將您的路線與另一條路線進行比較的時刻。 15、30 或 60 秒的計時輪次顯示該方法是否在時鐘下成立，而 iPhone 上的兩人比賽將相同的問題變成與其他人的遊戲。

延伸閱讀

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science