Jak násobit dvouciferná čísla v hlavě

Proč jsou produkty se dvěma číslicemi těžké

Jednociferný součin, jako je 7 × 8, je obvykle načten z paměti, nikoli vypočítán. Dvouciferné produkty téměř nikdy nejsou, takže musíte počítat a počítat v hlavě znamená ponechat si dílčí výsledky při výrobě dalšího. Recenze DeStefano a LeFevre popisuje pracovní paměť jako překážku mentální aritmetiky a vícemístné násobení ji silně zatěžuje. Každá níže uvedená metoda snižuje množství, které najednou držíte. Žádný z nich není nejlepší pro každý pár; dovednost je vybrat si tu, která odpovídá číslům před vámi.

Začněte jedním číslem krát jednou číslicí

Před dvěma číslicemi dvěma číslicemi proveďte automatické násobení jednociferných čísel. 47 × 6 je 40 × 6 plus 7 × 6, takže 240 + 42 = 282. Práce od desítek napřed, zleva doprava, vám dá velkou část odpovědi brzy, což je také část, na které nejvíce záleží, když vás někdo vyruší. Tento jediný krok je stavebním kamenem každé následující metody.

Metoda jedna: rozdělit jedno číslo

Obecnou metodou je rozdělit jeden faktor na desítky a jednotky a každou část vynásobit. Pro 34 × 27 rozdělte 27 na 20 a 7: 34 × 20 = 680 a 34 × 7 = 238. Pak 680 + 238 = 918. Vždy držíte pouze jeden průběžný součet a jeden nový dílčí součin, proto tato metoda funguje pro jakýkoli pár. rozdělit podle toho, které číslo dává snazší dílčí produkty; rozdělení na části 34 na 30 a 4 by také fungovalo, což by dalo 810 + 108 = 918.

Než začnete počítat, odhadněte

Než začnete, zaokrouhlete obě čísla: 34 × 27 se blíží 30 × 30, takže odpověď by se měla blížit 900. To trvá sekundu a zachytí nejhorší chyby, jako je výsledek 9 180 nebo 91,8 způsobený chybnou hodnotou místa. To také dává vaší pozornosti cíl, takže konečný přídavek působí spíše jako potvrzení než skok.

Metoda dva: kulaté a správné

Když se jeden faktor blíží kulatému číslu, vynásobte kulatým číslem a poté opravte. 29 × 34 je 30 × 34 mínus jedna 34: 1 020 − 34 = 986. 48 × 15 je 50 × 15 minus 2 × 15: 750 − 30 = 720. Korekce je obvykle malé násobení a kulatý součin je rychlý. Metoda šetří nejvíce, když faktor sedí jedna nebo dvě od násobku deseti.

Při zaokrouhlování je špatný pohyb

Kulatá a správná ztrácí svou výhodu, když je samotná korekce velká. 36 × 47 zaokrouhleno na 36 × 50 potřebuje opravu 36 × 3 = 108, což dává 1 800 − 108 = 1 692. To funguje, ale rozdělení na části, 36 × 40 + 36 × 7 = 1 440 + 252 = 1 692, není o nic pomalejší a nezahrnuje žádné odečítání. Zpravidla zaokrouhlujte, když je vzdálenost ke číslu kola jedna nebo dvě, a jinak se oddělte.

Metoda třetí: rozdíl čtverců

Když dvě čísla leží ve stejné vzdálenosti na obou stranách kulatého čísla, jejich součin je druhá mocnina prostředního čísla mínus druhá mocnina vzdálenosti. To pochází z identity (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 je 50² − 2² = 2 500 − 4 = 2 496. 37 × 43 je 40² − 3² = 1 600 − 9 = 1 591. 46 × 54 je 2 500 − 16 = 2 484. Metoda potřebuje pouze druhé mocniny kulatých čísel, které jsou snadné, a druhé mocniny od 1 do 9, které již znáte.

Když pár není symetrický

Pokud dvě čísla nejsou stejně vzdálená od kulatého středu, nápad stále funguje s malou korekcí. 47 × 52 je 47 × 53 mínus 47 a 47 × 53 je 50² − 3² = 2 491, takže odpověď je 2 491 − 47 = 2 444. Zda to překoná lámání na části, záleží na člověku. Vyzkoušejte oba na stejný problém a ponechte si ten, který vám připadá lehčí.

Metoda čtyři: čísla těsně pod 100

U dvou čísel blízkých 100 pracujte s tím, jak daleko je každé pod 100. Pro 96 × 97 jsou vzdálenosti 4 a 3. Odečtěte jednu vzdálenost od druhého čísla: 96 − 3 = 93, což dává první dvě číslice. Vynásobte vzdálenosti: 4 × 3 = 12, což dává poslední dvě číslice. Odpověď je 9 312. Stejný vzorec funguje nad 100: pro 103 × 107 sečtěte 103 + 7 = 110 a vynásobte 3 × 7 = 21, dostanete 11 021. Pokud má součin vzdáleností pouze jednu číslici, zapište jej s úvodní nulou: 98 × 97 dává 95 a 06, tedy 9 506.

Proč metoda téměř 100 funguje

Je to stejná algebra jako dělení na části, uspořádaná tak, aby využívala kulaté číslo: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. První část počítá stovky a druhá část je to, co zbývá. Porozumět tomu, proč to funguje, je důležitější než si to zapamatovat. Metodu, které rozumíte, lze upravit například na čísla kolem 50 nebo kolem 1 000, zatímco zapamatovaný trik se přeruší při první změně čísel.

Křížová metoda

Další obecná metoda funguje sloupec po sloupci. Pro 43 × 21 jsou stovky 4 × 2 = 8, desítky jsou 4 × 1 + 3 × 2 = 10 a jednotky jsou 3 × 1 = 3. Zkombinujte je: 800 + 100 + 3 = 903. Je to zapsaný algoritmus, který se provádí ve vaší hlavě a vyhovuje lidem, kteří mají rádi. Jeho slabina se objeví, když je prostřední součet velký a dosahuje stovek, protože ho musíte při kombinování držet, což je přesně ta zátěž, které se ostatní metody vyhýbají.

Výběr metody za dvě sekundy

Než začnete, podívejte se na pár. Stejná vzdálenost od kulatého čísla: rozdíl čtverců. Jedno číslo vedle násobku deseti: zaokrouhlené a správné. Obě blízko 100: metoda téměř 100. Cokoli jiného: oddělte jednodušší číslo. Tato volba je sama o sobě dovedností a nejlépe se rozvíjí u smíšených problémů, spíše než u dvaceti stejného druhu. Rohrer a Taylor zjistili, že míchání typů problémů během cvičení zlepšilo pozdější výkonnost testu ve srovnání s procvičováním jednoho typu po druhém.

Levně si ověřte odpověď

Dvě kontroly trvají každou sekundu. Poslední číslice: 34 × 27 musí končit 8, protože 4 × 7 = 28. Velikost: odhad 900 říká, že 918 je věrohodné. Ani jedna kontrola neprokazuje správnou odpověď, ale společně zachytí většinu uklouznutí a jsou dostatečně rychlé, aby je bylo možné použít pokaždé.

Nejdříve přesnost, pak rychlost

Časový tlak tlačí lidi zpět k jejich nejpomalejší a nejznámější metodě. Pracujte bez časovače, dokud není výběr metody automatický, poté přidejte hodiny. Když uděláte problém špatně, zopakujte tentýž problém hned správně a nepokračujte dál, aby poslední verze, kterou nacvičujete, byla ta správná.

Kam se hodí Numvolt

Multiplikační sezení Numvolt vám dávají problémy s procvičováním výběru metody. V režimu Zen není žádný časovač a nesprávná odpověď ukazuje metodu opravy, což je okamžik pro porovnání vaší trasy s jinou. měřená kola 15, 30 nebo 60 sekund pak ukážou, zda metoda platí pod časem, a zápas dvou hráčů na jednom iPhone promění stejné problémy ve hru s někým jiným.

Zdroje a další čtení

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science