So multiplizieren Sie zweistellige Zahlen im Kopf

Warum sich zweistellige Produkte schwer anfühlen

Ein einstelliges Produkt wie 7 × 8 wird normalerweise aus dem Speicher abgerufen und nicht berechnet. Bei zweistelligen Produkten ist das fast nie der Fall, man muss also rechnen, und im Kopf zu rechnen bedeutet, Teilergebnisse beizubehalten, während man das nächste erzeugt. In der Rezension von DeStefano und LeFevre wird das Arbeitsgedächtnis als der Flaschenhals des Kopfrechnens beschrieben, und die mehrstellige Multiplikation belastet es stark. Jede der folgenden Methoden reduziert die Menge, die Sie auf einmal halten. Keines davon ist für jedes Paar das Beste; Die Kunst besteht darin, diejenige auszuwählen, die zu den vor Ihnen liegenden Zahlen passt.

Beginnen Sie mit einer Zahl mal einer einzelnen Ziffer

Machen Sie vor zwei Ziffern mal zwei Ziffern automatische Multiplikatoren für einstellige Ziffern. 47 × 6 ist 40 × 6 plus 7 × 6, also 240 + 42 = 282. Wenn Sie zuerst von links nach rechts mit den Zehnern arbeiten, erhalten Sie frühzeitig den größten Teil der Antwort, der auch am wichtigsten ist, wenn Sie unterbrochen werden. Dieser einzelne Schritt ist der Baustein jeder folgenden Methode.

Methode eins: Zerlegen Sie eine Zahl

Die allgemeine Methode besteht darin, einen Faktor in Zehner und Einer zu zerlegen und jeden Teil zu multiplizieren. Zerlegen Sie für 34 × 27 27 in 20 und 7: 34 × 20 = 680 und 34 × 7 = 238. Dann ist 680 + 238 = 918. Sie haben immer nur eine laufende Summe und ein neues Teilprodukt, weshalb diese Methode für jedes Paar funktioniert. Zerlegen Sie die Zahl, die die einfacheren Teilprodukte ergibt. Eine Aufteilung in die Teile 34 in 30 und 4 würde auch funktionieren, was 810 + 108 = 918 ergibt.

Schätzen Sie, bevor Sie rechnen

Bevor Sie beginnen, runden Sie beide Zahlen: 34 × 27 liegt nahe bei 30 × 30, daher sollte das Ergebnis nahe bei 900 liegen. Das dauert eine Sekunde und fängt die schlimmsten Fehler auf, wie zum Beispiel ein Ergebnis von 9.180 oder 91,8, das durch einen verrutschten Stellenwert verursacht wurde. Es gibt Ihrer Aufmerksamkeit auch ein Ziel, sodass sich die letzte Ergänzung eher wie eine Bestätigung als wie ein Sprung anfühlt.

Methode zwei: rund und richtig

Wenn ein Faktor nahe an einer runden Zahl liegt, multiplizieren Sie mit der runden Zahl und korrigieren Sie dann. 29 × 34 ist 30 × 34 minus eins 34: 1.020 − 34 = 986. 48 × 15 ist 50 × 15 minus 2 × 15: 750 − 30 = 720. Die Korrektur ist normalerweise eine kleine Multiplikation und das Rundprodukt ist schnell. Die Methode spart am meisten, wenn der Faktor ein oder zwei von einem Vielfachen von zehn entfernt ist.

Wenn Rundung der falsche Schritt ist

Rund und richtig verliert seinen Vorteil, wenn die Korrektur selbst groß ist. 36 × 47, gerundet auf 36 × 50, erfordert eine Korrektur von 36 × 3 = 108, was 1.800 − 108 = 1.692 ergibt. Das funktioniert, aber das Zerlegen in Teile, 36 × 40 + 36 × 7 = 1.440 + 252 = 1.692, ist nicht langsamer und erfordert keine Subtraktion. Als Faustregel gilt: Runden Sie, wenn der Abstand zur runden Zahl eins oder zwei beträgt, und brechen Sie andernfalls auseinander.

Methode drei: die Differenz der Quadrate

Wenn zwei Zahlen auf beiden Seiten einer runden Zahl den gleichen Abstand haben, ist ihr Produkt das Quadrat der mittleren Zahl minus dem Quadrat des Abstands. Dies ergibt sich aus der Identität (a − b) × (a + b) = a² − b². 48 × 52 ist 50² − 2² = 2.500 − 4 = 2.496. 37 × 43 ist 40² − 3² = 1.600 − 9 = 1.591. 46 × 54 ist 2.500 − 16 = 2.484. Die Methode benötigt nur die Quadrate runder Zahlen, die einfach sind, und die Quadrate von 1 bis 9, die Sie bereits kennen.

Wenn das Paar nicht symmetrisch ist

Wenn die beiden Zahlen nicht den gleichen Abstand von einer runden Mitte haben, funktioniert die Idee mit einer kleinen Korrektur immer noch. 47 × 52 ist 47 × 53 minus 47 und 47 × 53 ist 50² − 3² = 2.491, also lautet die Antwort 2.491 − 47 = 2.444. Ob dies besser ist als das Zerlegen in Teile, hängt von der Person ab. Probieren Sie beides bei demselben Problem aus und behalten Sie das, das sich leichter anfühlt.

Methode vier: Zahlen knapp unter 100

Berechnen Sie für zwei Zahlen nahe 100, wie weit jede unter 100 liegt. Für 96 × 97 betragen die Abstände 4 und 3. Subtrahieren Sie einen Abstand von der anderen Zahl: 96 − 3 = 93, was die ersten beiden Ziffern ergibt. Multiplizieren Sie die Abstände: 4 × 3 = 12, was die letzten beiden Ziffern ergibt. Die Antwort ist 9.312. Das gleiche Muster funktioniert über 100: Für 103 × 107 addieren Sie 103 + 7 = 110 und multiplizieren 3 × 7 = 21, was 11.021 ergibt. Wenn das Produkt der Abstände nur eine Ziffer hat, schreiben Sie es mit einer führenden Null: 98 × 97 ergibt 95 und 06, also 9.506.

Warum die Near-100-Methode funktioniert

Es ist die gleiche Algebra wie das Zerlegen in Teile, die so angeordnet ist, dass sie die runde Zahl ausnutzt: (100 − a) × (100 − b) = 100 × (100 − a − b) + a × b. Der erste Teil zählt die Hunderter und der zweite Teil ist das, was übrig bleibt. Zu verstehen, warum es funktioniert, ist wichtiger als es auswendig zu lernen. Eine Methode, die Sie verstehen, kann angepasst werden, zum Beispiel auf Zahlen nahe 50 oder nahe 1.000, während ein auswendig gelernter Trick beim ersten Ändern der Zahlen bricht.

Die Kreuzmethode

Eine andere allgemeine Methode arbeitet spaltenweise. Für 43 × 21 sind die Hunderter 4 × 2 = 8, die Zehner 4 × 1 + 3 × 2 = 10 und die Einheiten 3 × 1 = 3. Kombinieren Sie sie: 800 + 100 + 3 = 903. Es ist der geschriebene Algorithmus, der in Ihrem Kopf ausgeführt wird, und er eignet sich für Menschen, die eine feste Routine mögen. Seine Schwäche zeigt sich, wenn die Mittelsumme groß ist und die Hunderter erreicht, weil man sie beim Kombinieren festhalten muss, was genau die Last ist, die die anderen Methoden vermeiden.

Eine Methode in zwei Sekunden auswählen

Schauen Sie sich das Paar an, bevor Sie beginnen. Ein gleicher Abstand von einer runden Zahl: Quadratdifferenz. Eine Zahl neben einem Vielfachen von zehn: runden und korrigieren. Beide nahe bei 100: die Nahe-100-Methode. Alles andere: Zerlegen Sie die einfachere Zahl. Diese Wahl ist selbst eine Fähigkeit und entwickelt sich am besten bei gemischten Problemen und nicht bei zwanzig gleichen Problemen. Rohrer und Taylor fanden heraus, dass das Mischen von Problemtypen während des Übens die spätere Testleistung im Vergleich zum Üben eines Typs nach dem anderen verbesserte.

Überprüfen Sie die Antwort günstig

Zwei Kontrollen dauern jeweils eine Sekunde. Die letzte Ziffer: 34 × 27 muss auf 8 enden, denn 4 × 7 = 28. Die Größe: Die Schätzung von 900 besagt, dass 918 plausibel ist. Keine der Prüfungen beweist, dass die Antwort richtig ist, aber zusammen fangen sie die meisten Ausrutscher auf und sind schnell genug, um sie jedes Mal zu verwenden.

Zuerst Genauigkeit, dann Geschwindigkeit

Der Zeitdruck zwingt die Menschen dazu, auf die langsamste und vertrauteste Methode zurückzugreifen. Arbeiten Sie ohne Timer, bis die Auswahl einer Methode automatisch erfolgt, und fügen Sie dann eine Uhr hinzu. Wenn Sie ein Problem falsch lösen, wiederholen Sie dasselbe Problem sofort richtig, anstatt weiterzumachen, damit die letzte Version, die Sie proben, die richtige ist.

Wo Numvolt passt

Die Multiplikationssitzungen von Numvolt geben Ihnen Aufgaben, an denen Sie die Wahl der Methode üben können. Im Zen-Modus gibt es keinen Timer und eine falsche Antwort zeigt die Methode hinter der Korrektur an, also den Moment, in dem Sie Ihre Route mit einer anderen vergleichen müssen. Zeitgesteuerte Runden von 15, 30 oder 60 Sekunden zeigen dann, ob die Methode unter Zeitdruck hält, und ein Zwei-Spieler-Match auf einem iPhone verwandelt die gleichen Probleme in ein Spiel mit jemand anderem.

Weiterlesen

• DeStefano & LeFevre (2004), The role of working memory in mental arithmetic, European Journal of Cognitive Psychology
• Rohrer & Taylor (2007), The shuffling of mathematics problems improves learning, Instructional Science