Як удосконалити сприйняття цифр

Що означає відчуття чисел

Відчуття чисел — це вільний термін для відчуття кількості: приблизно знати, наскільки велике число, чи вірогідна відповідь і як числа можна розбити на частини та об’єднати. Хтось із хорошим відчуттям чисел бачить, що 49 × 21 має бути близьким до 1000, що 3/7 – це трохи менше половини, і що рахунок у 12 000 за каву є помилкою. Йдеться не про швидкі обчислення, а про те, щоб помітити, коли обчислення пішли не так.

Два значення в дослідженні

Дослідники використовують цей термін двояко. Перша — це приблизна система числення, здатність оцінювати кількість без підрахунку, яку Дехейн описує як спільну для дорослих, немовлят та інших тварин. Другий, який більше використовується в освіті, — це гнучке розуміння записаних чисел: значення місця, величина та співвідношення між операціями. Вправи в цьому посібнику спрямовані на другу, оскільки це частина, яку дорослі можуть практикувати безпосередньо.

Що показує дослідження, а що ні

Хальберда, Маццокко та Фейгенсон виявили, що невербальна здатність 14-річних дітей корелювати з їхніми попередніми результатами на тестах з математики, починаючи з дитсадка. Мета-аналіз Чена та Лі 2014 року виявив скромний, але значний зв’язок між цією точністю в оцінці кількості та ефективністю математики. Це кореляції. Вони не показують, що навчання наближеній системі покращує арифметику, і в більшості досліджень беруть участь діти, а не дорослі. Розглядайте наведені нижче вправи як тренування корисних навичок, а не як перевірений спосіб щось змінити.

Поставте числа на рядку

Просту вправу випливає з дослідження оцінки: намалюйте лінію від 0 до 1000 або від 0 до 100 000 і позначте, де знаходиться задане число. Сіглер і Booth досліджували, як оцінки дітей на таких лініях стають більш точними з розвитком, а мета-аналіз Шнайдера та його колег виявив, що оцінка числової лінії корелює з ширшою математичною компетентністю дітей. Для дорослих це значення практичне: розміщення 7300 на рядку від 0 до 10 000 або 0,35 між 0 і 1 змушує вас мислити пропорціями, а не цифрами.

Оцінка перед кожним розрахунком

Візьміть за правило говорити приблизну відповідь, перш ніж щось обчислювати, а потім порівнювати. 38 × 52 це приблизно 40 × 50 = 2000; точна відповідь 1976. З часом розрив між оцінкою та відповіддю скорочується, і ви починаєте помічати, коли точна відповідь сильно відхиляється. Ця єдина звичка несе більше відчуття чисел, ніж будь-який трюк.

Вивчіть контрольні цифри

Орієнтири роблять оцінку можливою. Мільйон секунд - це приблизно 11,6 днів, тоді як мільярд секунд - це майже 32 роки. Чверть – 25%, восьма – 12,5%, третина – близько 33%. Населення вашого міста, ціна речей, які ви часто купуєте, і довжина кімнати, яку ви знаєте, служать одній меті. Кожна оцінка робиться відносно чогось, що ви вже знаєте, тому чим більше опорних точок у вас є, тим кращими можуть бути ваші оцінки.

Розбийте числа кількома способами

Гнучкість означає розглядати 48 як 50 − 2, як 40 + 8, як 6 × 8 і як 16 × 3, і вибирати версію, яка полегшить задачу. Тренуйтеся, беручи число і записуючи якомога більше розкладів за хвилину. Потім використовуйте їх: 48 × 25 стане 12 × 100 = 1200, коли ви побачите 48 як 12 × 4.

Порівняйте, не обчислюючи

Що більше 3/7 чи 4/9? Перехресне множення: 3 × 9 = 27 проти 4 × 7 = 28, отже, 4/9 більше. Що більше 17 × 23 чи 20 × 20? По-друге, тому що два числа з однаковою сумою дають більший добуток, чим ближче одне до одного, і справді 17 × 23 = 391, а 20 × 20 = 400. Вправи на порівняння тренують судження про величину без тягаря точної відповіді.

Думайте по порядку

Для великих чи малих чисел перше питання полягає в тому, скільки цифр має містити відповідь. Це тисячі чи мільйони? Відстеження нулів окремо, щоб 300 × 8000 стало 3 × 8 = 24, а потім п’ять нулів, тобто 2 400 000, — це те, як люди з хорошим відчуттям чисел уникають помилок у десять разів. Коли прийде відповідь, перевірте кількість цифр перед першою цифрою.

Перевірте розумність у повсякденному житті

Квитанції, рахунки, масштабування рецептів і цифри в новинах є безкоштовною практикою. Перш ніж дивитися на загальну суму, оцініть її. Коли в новинах повідомляється про відсотки, запитайте, яка база. Коли рецепт масштабується на 1,5, перевірте нові кількості на власне відчуття оригіналу. Метою є звичка запитувати, чи має сенс число, а не щоденне тренування.

Використовуйте розрахунок як практикум

відчуття чисел і обчислень підсилюють одне одного. Такі методи, як округлення та виправлення або віднімання шляхом підрахунку вгору, залежать від гнучкого бачення чисел, і їхнє відпрацювання створює цю гнучкість. Короткі регулярні обчислення з оцінкою перед кожною відповіддю — це простий спосіб працювати над обома одночасно.

Оцінка є точкою входу низького тиску

Деякі люди уникають оцінки, тому що це схоже на вгадування, а вгадування — на поразку. Приблизна відповідь не може бути абсолютно неправильною, лише ближчою чи далі, що робить оцінку зручним місцем для відновлення впевненості за допомогою чисел. Почніть із кількостей, які ви зустрічаєте щодня, як-от ціни та відстані, де ви можете негайно перевірити справжню відповідь.

Як сказати, що покращується

Відстежуйте розмір своїх помилок оцінки з часом, а не швидкість. Якщо ваші оцінки для повсякденних розрахунків ближче до точних відповідей, ніж раніше, і ви частіше вловлюєте власні помилки, ваше відчуття цифр покращується таким чином, що має значення. Для цього нікому не потрібна оцінка; достатньо короткої нотатки про кілька оцінок на тиждень.

Куди підходить Numvolt

Numvolt практикує обчислення: додавання, віднімання, множення та ділення в режимі Zen без таймера, де кожна неправильна відповідь показує метод, що стоїть за виправленням, або в раундах із фіксованим часом. Поєднайте це зі звичкою оцінювати з цього посібника: дайте собі приблизну відповідь, перш ніж вводити точну, і зверніть увагу, коли вони розходяться.

Додаткові матеріали

• Dehaene (2001), Précis of The Number Sense, Mind & Language
• Halberda, Mazzocco & Feigenson (2008), Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement, Nature
• Chen & Li (2014), Association between individual differences in non-symbolic number acuity and math performance: a meta-analysis, Acta Psychologica
• Siegler & Booth (2004), Development of numerical estimation in young children, Child Development
• Schneider et al. (2018), Associations of number line estimation with mathematical competence: a meta-analysis, Child Development